Question

已知⊙O的半徑為2，點P是⊙O內一點，且OP=，過P作互相垂直的兩條弦AC、BD，則四邊形ABCD面積的最大值為（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

Answer 1

【答案】分析：這道題在考查垂徑定理的基礎上，還考查了當兩數的和一定時，兩數相等時乘積最大以及一元二次（根式）方程．
解答：解：如圖
連接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分別為E、F
∵AC⊥BD
∴四邊形OEPF為矩形
已知OA=OC=2  OP=
設OE為x，則OF=EP==
∴AC=2AE=2=2
BD=2DF=2=2
如設OF為y，同理可得
AC=2，BD=2
∴AC²+BD²=20，
由此可知AC與BD兩線段的平方和為定值
又∵任意對角線互相垂直四邊形的面積等于對角線乘積的
當AC=BD時
即=
y=
AC=BD=
∴四邊形ABCD的面積等于5
故選B．
點評：此題是一道綜合性較強的題，融合了方程思想、數形結合思想．還可用a²+b²≥2ab解決，設OE=a、OF=b．分別用a、b表示AC、BD的長．