如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm;點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AD邊向點(diǎn)D以1厘米/秒的速度移動(dòng);與此同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿CB邊向點(diǎn)B以3厘米/秒的速度移動(dòng);當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止移動(dòng),設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒.
(1)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形PQCD為平行四邊形?
(2)設(shè)四邊形PQCD的面積為y,求y與t的函數(shù)關(guān)系式.探索四邊形PQCD的面積是否存在最大值?若存在,最大值是多少?若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由?

【答案】分析:(1)由題意得AP=t,DP=24-t,CQ=3t,0≤t≤,因?yàn)锳D∥BC,則根據(jù)平行四邊形的判定得只要當(dāng)DP=CQ時(shí),四邊形PQCD為平行四邊形,即有3t=24-t,解t即可;
(2)四邊形PQCD的面積等于△PQD與△DQC的面積和,而這兩個(gè)三角形的高都等于AB,所以y四邊形PQCD的面積=(DP+CQ)•AB=(24-t+3t)×8=8t+96,根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)討論當(dāng)0≤t≤,y的最大值即可.
解答:解:(1)AP=t,DP=24-t,CQ=3t,0≤t≤,
∵AD∥BC,
∴只要當(dāng)DP=CQ時(shí),四邊形PQCD為平行四邊形,
∴3t=24-t,解得t=6秒.
所以當(dāng)t為6秒時(shí),四邊形PQCD為平行四邊形;

(2)存在.
y四邊形PQCD的面積=(DP+CQ)•AB=(24-t+3t)×8=8t+96,
∵0≤t≤,y隨t的增大而增大,
∴當(dāng)t=時(shí),y有最大值=96+8×=(cm2).
所以四邊形PQCD的面積的最大值為cm2
點(diǎn)評(píng):本題考查了平行四邊形的判定:一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形.也考查了直角梯形的性質(zhì)以及一次函數(shù)的性質(zhì).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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20、如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,CD⊥BC,E為BC邊上的點(diǎn).將直角梯形ABCD沿對(duì)角線BD折疊,使△ABD與△EBD重合(如圖中陰影所示).若∠A=130°,AB=4cm,則梯形ABCD的高CD≈
3.1
cm.(結(jié)果精確到0.1cm)

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精英家教網(wǎng)如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠D=90°,AC⊥BC,AB=10cm,BC=6cm,F(xiàn)點(diǎn)以2cm/秒的速度在線段AB上由A向B勻速運(yùn)動(dòng),E點(diǎn)同時(shí)以1cm/秒的速度在線段BC上由B向C勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0<t<5).
(1)求證:△ACD∽△BAC;
(2)求DC的長(zhǎng);
(3)設(shè)四邊形AFEC的面積為y,求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并求出y的最小值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1998•大連)如圖,在直角梯形ABCD中.AD∥BC,DC⊥BC,且BC=3AD.以梯形的高AE為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G、H.過(guò)點(diǎn)F引⊙O的切線交BC于點(diǎn)N.
(1)求證:BN=EN;
(2)求證:4DH•HC=AB•BF;
(3)設(shè)∠GEC=α.若tan∠ABC=2,求作以tanα、cotα為根的一元二次方程.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠ADC=90°,AB=3a,CD=2a,AD=2,點(diǎn)E、F分別是腰AD、BC上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)G在AB上,且四邊形AEFG是矩形.設(shè)FG=x,矩形AEFG的面積為y.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)在腰BC上求一點(diǎn)F,使梯形ABCD的面積是矩形AEFG的面積的2倍,并求出此時(shí)BF的長(zhǎng);
(3)當(dāng)∠ABC=60°時(shí),矩形AEFG能否為正方形?若能,求出其邊長(zhǎng);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠C=90°,AB=6cm,CD=10cm,AD=5cm,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P以2cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng),點(diǎn)Q以1cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng),當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).
(1)經(jīng)過(guò)幾秒鐘,點(diǎn)P、Q之間的距離為5cm?
(2)連接PD,是否存在某一時(shí)刻,使得PD恰好平分∠APQ?若存在,求出此時(shí)的移動(dòng)時(shí)間;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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