Question

如圖，△ABC中，AD為中線，E為邊BC上一點(diǎn)，過(guò)E作EF∥AB交AC于F，交AD于M，EG∥AC交AB于G．
（1）如圖1，若E與D重合，寫出圖中所有與FG相等的線段，并選取一條給出證明．
（2）如圖2，若E與D不重合，在（1）中與FG相等的線段中找出一條仍然與FG相等的線段，并給出證明．
（3）如圖3，若E在BC的延長(zhǎng)線上，其它條件不變，作出圖形（不寫作法），F(xiàn)G=

BM

．

Answer 1

分析：（1）BD=DC=FG，根據(jù)平行線分線段成比例定理推出AF=CF，BG=AG，根據(jù)三角形的中位線求出即可；
（2）延長(zhǎng)AD至A′，使DA′=AD，連接CA′，推出平行四邊形GEFA，得出FM∥A′C，得出、比例式，求出BG=FM，BG∥FM，得出平行四邊形BGFM即可；
（3）延長(zhǎng)AD至A′，使DA′=AD，連接CA′，推出平行四邊形GEFA，得出FM∥A′C，得出、比例式，求出BG=FM，BG∥FM，得出平行四邊形BGFM即可．

解答：解：（1）BD=DC=FG，
證明：∵EF∥AB，BD=DC，
∴AF=CF，
同理BG=AG，
∴FG=

1

2

BC=BD=DC，
即BD=FG．

（2）BM=FG，
理由是：延長(zhǎng)AD至A′，使DA′=AD，連接CA′，
則△ABD≌△A′CD，
∴A′C=AB，A′C∥AB，
∵FM∥AB，GE∥AC，
∴四邊形GEFA為平行四邊形，
∴FM∥A′C，
∴

FM

A′C

=

AF

AC

=

GE

AC

=

BG

AB

，
∴FM=BG，
∵FM∥BG，
∴BMFG是平行四邊形，
∴BM=FG．

（3）BM=FG，
理由是：延長(zhǎng)AD至A′，使DA′=AD，連接CA′，
△ABD≌△A′CD，
∴A′C=AB，A′C∥AB，
∵FM∥AB，GE∥AC，
∴四邊形GEFA為平行四邊形，
∴FM∥A′C，GE=AF，
∴

FM

A′C

=

AF

AC

=

GE

AC

=

BG

AB

，
∴FM=BG，
∵FM∥BG，
∴BMFG是平行四邊形，
∴BM=FG．
故答案為：BM．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，平行線分線段成比例定理等知識(shí)點(diǎn)，此題難度較大，對(duì)學(xué)生有較高要求，但出現(xiàn)了類比推理的思想．