Question

如圖，點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，過點(diǎn)任作直線交拋物線于，兩點(diǎn).

（Ⅰ）求證：∠=∠；

（Ⅱ）若點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），且∠=60º，試求所有滿足條件的直線的函數(shù)解析式.

 

Answer 1

解：（Ⅰ）如圖，分別過點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為.

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），則點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-）.

設(shè)直線的函數(shù)解析式為,

并設(shè)的坐標(biāo)分別為 ,.

由  得，

于是 ，即 .于是，

  …………5分

又因?yàn)?sub>，所以.

    因?yàn)椤?sub>∠，所以△∽△.

    故∠=∠.     …………………………………………………………10分

（Ⅱ）解法一   設(shè)，，不妨設(shè)≥>0，

由（Ⅰ）可知

∠=∠，=，=，  

所以 =，=.

因?yàn)?sub>∥，所以△∽△.

于是，即．所以．

由（Ⅰ）中，即，所以

于是，可求得 .

將代入，得到點(diǎn)的坐標(biāo)（，）.     …………………15分

再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求得 .

所以直線的函數(shù)解析式為.

根據(jù)對(duì)稱性知，

所求直線的函數(shù)解析式為，或. ………………20分

解法二  設(shè)直線的函數(shù)解析式為,其中.

由（Ⅰ）可知，∠=∠，所以.

故 .

將代入上式，平方并整理得

，即.

所以 或.

又由（Ⅰ），得，.

若代入上式得  從而 .

同理，若 可得 從而 .

所以，直線的函數(shù)解析式為

，或. ………………………………………20分