Question

如圖，AB為⊙O的直徑，，點(diǎn)M為BC上一點(diǎn)，且CM=AC．
（1）求證：M為△ABE的內(nèi)心；
（2）若⊙O的半徑為5，AE=8，求S_△BEM．

Answer 1

（1）證明：連接CE，
∵，
∴AC=CE，∠ABC=∠EBC，
∵CM=AC，
∴AC=CE=CM，
∴A、M、E三點(diǎn)在以C為圓心，AC為半徑的圓上，
∴∠AEM=∠ACM，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=∠AEB=90°，
∴∠ACM=90°，
∴∠AEM=45°，
∴∠BEM=∠AEM=45°，
∴點(diǎn)M是∠ABE與∠AEB的角平分線的交點(diǎn)，
∴M為△ABE的內(nèi)心；

（2）解：∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∵⊙O的半徑為5，AE=8，
∴AB=10，
∴BE==6，
∵M(jìn)為△ABE的內(nèi)心
∴△ABE的內(nèi)切圓的半徑為r．
∵S_△ABE=AE•BE=（AB+AE+BE）•r，
∴r===2，
∴S_△BEM=BE•r=×6×2=6．
分析：（1）首先連接CE，易證得AC=CE=CM，即可得A、M、E三點(diǎn)在以C為圓心，AC為半徑的圓上，繼而求得，∠AEM=∠ACM=45°，則可得EM平分∠AEM，易得BC平分∠ABE，繼而證得M為△ABE的內(nèi)心；
（2）由內(nèi)切圓的性質(zhì)，可得S_△ABE=AE•BE=（AB+AE+BE）•r，繼而求得內(nèi)切圓的半徑，繼而求得答案．
點(diǎn)評：此題考查了三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)與判定以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．