Question

如圖，Rt△ABC，AC=BC，將Rt△ABC沿過B的直線折疊，使點C落在AB邊上點F處，折痕為BE，這樣可以求出22.5°的正切值是

 

．

Answer 1

考點：解直角三角形,翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：設AC=BC=1，CE=x，則AE=1-x．先解等腰直角三角形ABC，得出∠ABC=45°，AB=

2

，再由折疊的性質得△BCE≌△BFE，在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE²=AF²+EF²，由此列出方程（1-x）²=（

2

-1）²+x²，解方程求出x=

2

-1，根據正切函數的定義得出即可求出tan22.5°的值．

解答：解：設AC=BC=1，CE=x，則AE=1-x．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=BC=1，
∴∠ABC=45°，AB=

2

．
由折疊的性質得△BCE≌△BFE，
∴∠C=∠BFE=90°，∠CBE=∠FBE=22.5°，BC=BF=1，CE=FE=x．
在Rt△AEF中，∵∠AFE=90°，
∴AE²=AF²+EF²，即（1-x）²=（

2

-1）²+x²，
解得x=

2

-1，
∴tan∠CBE=tan22.5°=

CE

BC

=

x

1

=x=

2

-1．
故答案為

2

-1．

點評：本題考查了解直角三角形，折疊的性質，銳角三角函數的定義，勾股定理，難度適中．設出適當的未知數，由勾股定理列出方程（1-x）²=（

2

-1）²+x²，是解題的關鍵．