Question

（1）如圖在反比例函數(shù)y=-

4

x

（x＞0）的圖象上，有三點(diǎn)P₁、P₂、P₃，它們的橫坐標(biāo)依次為1、2、3，分別過這3個(gè)點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，設(shè)圖中陰影部分面積依次為S₁、S₂、S₃，則S₁+S₂+S₃=

 

．
（2）若一次函數(shù)y=mx-4的圖象與（1）中的反比例函數(shù)y=-

4

x

（x＞0）的圖象有交點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）解法一：把橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式分別求出三點(diǎn)P₁、P₂、P₃的坐標(biāo)，然后根據(jù)矩形的面積公式分別求出S₁、S₂、S₃，相加即可；解法二：根據(jù)長(zhǎng)與寬相等的矩形面積相等，可以把后兩個(gè)矩形的平移到最左邊兩個(gè)空白處，于是，圖中陰影部分的面積之和等于如圖以點(diǎn)P₁為頂點(diǎn)的矩形的面積，再利用反比例函數(shù)圖象進(jìn)行解答；
（2）兩式聯(lián)立組成方程組，整理得到關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式△≥0列式求解即可．

解答：解：（1）解法一：根據(jù)題意，當(dāng)x=1時(shí)，y=-4，
當(dāng)x=2時(shí)，y=-2，
當(dāng)x=3時(shí)，y=-

4

3

，
∴三點(diǎn)P₁、P₂、P₃的坐標(biāo)分別為P₁（1，-4），P₂（2，-2），P₃（3，-

4

3

），
∴S₁=1×（|-4|-|-2|）=2，S₂=1×（|-2|-|-

4

3

|）=

2

3

，S₃=1×|-

4

3

|=

4

3

，
∴S₁+S₂+S₃=2+

2

3

+

4

3

=4；

解法二：如圖，根據(jù)長(zhǎng)與寬相等的矩形的面積相等，后兩個(gè)陰影部分可以分別平移到①②的位置，
∵當(dāng)x=1時(shí)，y=-4，
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為P₁（1，-4），
∴S₁+S₂+S₃=1×|-4|=4；

（2）一次函數(shù)y=mx-4與反比例函數(shù)y=-

4

x

（x＞0）聯(lián)立得，

y=mx-4 y=- 4 x

，
整理得mx²-4x+4=0，
∵兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)，
∴△=b²-4ac=（-4）²-4×4m=16-16m≥0，
解得m≤1，
∵y=mx-4是一次函數(shù)，
∴m≠0，
∴m的取值范圍是x≤1且m≠0．
故答案為：（1）4；（2）m≤1且m≠0．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)，三角形的面積，以及判別式的利用，綜合性較強(qiáng)，求解時(shí)要注意用點(diǎn)的坐標(biāo)表示邊長(zhǎng)的方法，不要出錯(cuò)．