Question

如圖，等腰△ABC中頂角∠A=120°，AB=AC，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點E、F．求證：BF=2CF．

Answer 1

證明：連接AF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等邊對等角），
∵∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°（三角形內角和定理），
∵EF是AC的垂直平分線（已知），
∴AF=CF（垂直平分線的性質），
∴∠1=∠C=30°（等邊對等角），
∴∠2=∠BAC-∠1=90°，
在Rt△BAF中（Rt△中30°角所對的直角邊是斜邊的一半），
∵AF=CF（已證），
∴（等量代換），
即BF=2CF．
分析：首先根據條件求出∠B=∠C=30°，再根據線段垂直平分線的性質求出∠1=∠C=30°，進而得到∠BAF=90°，然后利用在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得到
，又有AF=CF可證出結論．
點評：此題主要考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質，解決問題的關鍵是證明∠B=30°，∠BAF=90°．