Question

如圖所示，點(diǎn)E、F分別為正方形ABCD邊AB、BC的中點(diǎn)，DF、CE交于點(diǎn)M，CE的延長(zhǎng)線交DA的延長(zhǎng)線于G，試探索：
（1）DF與CE的位置關(guān)系；（2）MA與DG的大小關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題中條件不難得出△EBC≌△FCD，在通過(guò)角之間的轉(zhuǎn)化，可得出DF與CE的位置關(guān)系．
（2）△GDM為直角三角形，由△GAE≌△CBE，可得GA=CB，進(jìn)而可求出MA與DG的大小關(guān)系．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠B=∠DCF=90°．
∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，
∴EB=FC．
∴△EBC≌△FCD（SAS）．
∴∠ECB=∠FDC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）．
∵∠FDC+∠DFC=90°，
∴∠ECB+∠DFC=90°．
∴∠CMF=90°（三角形內(nèi)角和定理）．
∴DF⊥CE（垂直定義）．

（2）在△AEG和△BEC中，
∵∠GAE=∠B=90°，AE=BE，∠GEA=∠CEB，
∴△GAE≌△CBE（ASA）．
∴GA=CB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．
∵正方形ABCD中，CB=AD，
∴GA=AD．
∵DF⊥CG，∴MA=DG（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）．
點(diǎn)評(píng)：掌握正方形的性質(zhì)，能夠運(yùn)用其性質(zhì)求解一些簡(jiǎn)單的計(jì)算問(wèn)題．