Question

如圖1，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點E與正方形ABCD的頂點A重合，三角板的一邊交CD于點F，另一邊交CB的延長線于點G．

    （1）求證：EF＝EG；

（2）如圖2，移動三角板，使頂點E始終在正方形ABCD的對角線AC上，其他條件不變．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

（3）如圖3，將（2）中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且使三角板的一邊經(jīng)過點B，其他條件不變，若AB＝a,BC＝b，求的值．

  

           圖1                          圖2                    圖3

Answer 1

（1）證明：∵∠GEB＋∠BEF＝90°，∠DEF＋∠BEF＝90°，

              ∴∠DEF＝GEB，………………………………………………（ 1分）

              又∵ED＝BE，

              ∴Rt△FED≌Rt△GEB，…………………………………………（ 2分）

                ∴EF＝EG．……………………………………………………（ 3分）

(2)成立．……………………………………………………………………（ 4分）

  證明：如圖，過點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、I，

       則EH＝EI，∠HEI＝90°，…………………………………（ 5分）

        ∵∠GEH＋∠HEF＝90°，∠IEF＋∠HEF＝90°，

        ∴∠IEF＝∠GEH，……………………………………………（ 6分）

        ∴Rt△FEI≌Rt△GEH,

        ∴EF＝EG．………………………………………………………（7分）

       

 (3)解：如圖，過點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為M、N ，

則∠MEN＝90°，EM∥AB，EN∥AD,………………………（ 8分）

        ∴＝＝，

        ∴＝＝, …………………………………………（9分）

        ∵∠GEM＋∠MEF＝90°，∠FEN＋∠MEF＝90°，

        ∴∠FEN＝∠GEM，

∴Rt△FEN∽Rt△GEM, …………………………………………（10分）

∴＝＝．…………………………………………（11分）