Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，ABCO的頂點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別是（6，0），（0，4）．動(dòng)點(diǎn)P在直線OD解析式為y＝x上運(yùn)動(dòng)．

（1）若反比例函數(shù)y＝圖象過C點(diǎn)，則m＝_____．

（2）證明：OD⊥AB；

（3）當(dāng)以點(diǎn)P為圓心、PB長為半徑的⊙P隨點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)⊙P與ABCO的邊所在直線相切時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）﹣24；（2）見解析；（3）滿足條件的P的坐標(biāo)為（0，0）或（，2）或（6﹣2，9﹣3）．

【解析】

（1）先求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)y＝圖象過C點(diǎn)，代入即可解得m的值；

（2）先求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，D（，），根據(jù)OD2+BD2＝OB2，構(gòu)建直角三角形的三邊滿足勾股定理，可得OD⊥AB；

（3）本問分4種情況進(jìn)行討論，分別是①當(dāng)⊙P與BC相切時(shí)；②當(dāng)⊙P與OC相切時(shí)；③當(dāng)⊙P與OA相切時(shí)；④當(dāng)⊙P與AB相切時(shí)，可根據(jù)這4種情況求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

（1）解：∵A（6，0），B（0，4），

∴OA＝6，OB＝4，

∵四邊形OABC是平行四邊形，

∴BC＝OA＝6，

∴C（﹣6，4）．

∵反比例函數(shù)y＝圖象過C點(diǎn)，

∴m＝﹣24，

故答案為﹣24．

（2）證明：∵A（6，0），B（0，4），

∴直線AB的解析式為y＝﹣x+4，

由解得，

∴D（，），

∴BD2＝（）2+（4﹣）2＝，OD2＝（）2+（）2＝，

∵OD2+BD2＝＝16＝OB2，

∴∠ODB＝90°，

∴OD⊥AB．

（3）解：∵OP⊥AB，AB∥OC

∴OP⊥OC，設(shè)P（x，x）

①當(dāng)⊙P與BC相切時(shí)，∵動(dòng)點(diǎn)P在直線y＝x上，

∴P與O重合，此時(shí)圓心P到BC的距離為OB，

∴P（0，0）．

②如圖1中，當(dāng)⊙P與OC相切時(shí)，則OP＝BP，△OPB是等腰三角形，作PE⊥y軸于E，則EB＝EO，易知P的縱坐標(biāo)為2，可得P（，2）．

③如圖2中，當(dāng)⊙P與OA相切時(shí)，則點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離與點(diǎn)P到x軸的距離相等，可得，

解得x＝6+2或6﹣2，

∵x＝6＝2＞OA，

∴⊙P不會(huì)與OA相切，

∴x＝6＝2不合題意，

∴P（6﹣2，9﹣3）．

④如圖3中，當(dāng)⊙P與AB相切時(shí)，設(shè)線段AB與直線OP的交點(diǎn)為G，此時(shí)PB＝PG，

∵OP⊥AB，

∴∠BGP＝∠PBG＝90°不成立，

∴此種情形，不存在P．

綜上所述，滿足條件的P的坐標(biāo)為（0，0）或（，2）或（6﹣2，9﹣3）．