Question

在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1，將三角板的直角頂點放在點P處，三角板的兩直角邊分別能與AB、BC邊相交于點E、F，連接EF．

（1）如圖，當(dāng)點E與點B重合時，點F恰好與點C重合，求此時PC的長；

（2）將三角板從（1）中的位置開始，繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E與點A重合時停止，在這個過程中，請你觀察、探究并解答：

①∠PEF的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；

②直接寫出從開始到停止，線段EF的中點所經(jīng)過的路線長．

 

Answer 1

【答案】

（1）PC=2；（2）①∠PEF的大小不變．②

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)勾股定理求得PB的長，再利用互余關(guān)系證得△APB∽△DCP，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及即可求得結(jié)果；

（2）①過F作FG⊥AD，垂足為G，同（1）的方法證明△APB∽△DCP，得相似比，再利用銳角三角函數(shù)的定義求值；

②如圖3，畫出起始位置和終點位置時，線段EF的中點O₁，O₂，連接O₁O₂，線段O₁O₂即為線段EF的中點經(jīng)過的路線長，也就是△BPC的中位線．

（1）在矩形ABCD中，，AP=1，CD=AB=2，

∴PB=，．

∵，

∴．

∴．

∴ △ABP∽△DPC．

∴，即．

∴PC=2；

（2）①∠PEF的大小不變．

理由：過點F作FG⊥AD于點G．

∴四邊形ABFG是矩形

∴

∴GF=AB=2，

∵

∴

∴

∴ △APE∽△GFP

∴

∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=

即tan∠PEF的值不變

∴∠PEF的大小不變．

②如圖所示：

 

設(shè)線段EF的中點為O，連接OP，OB，

∵在Rt△EPF中，OP=EF，

在Rt△EBF中，OB=EF，

∴OP=OB=EF，

∴O點在線段BP的垂直平分線上，

∴線段EF的中點經(jīng)過的路線長為

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形

點評：解答本題的關(guān)鍵是熟記相似三角形的對應(yīng)邊成比例，注意對應(yīng)字母寫在對應(yīng)位置上.