Question

如圖，OA是△ABC的角平分線，以O(shè)A為半徑的⊙O交AB于D，交AC于E，交BC于F、G．且∠DFE=60°，則∠BAC=

 

度，若

AB

AO

=

3

2

，則

AC

AO

=

 

．

Answer 1

分析：由于∠DFE=60°，∠BAC和∠DFE所對的弧組成一個圓，所以可知∠BAC=120°，連接OD、OE，由于∠BAC=120°，OA是角平分線，可知∠OAD=∠OAE=60°，而OA=OD=OE，易知△ODA、△OEA都是等邊三角形，那么可得∠OEC=∠BDO=120°，易證四邊形ADOE是菱形，則OA=OD=AD=AE，于是AB：AO=3：2，可得AB：AD=3：2，那么利用比例性質(zhì)可得BD：AB=1：3，而OD∥AC，利用平行線分線段成比例定理可得BD：AB=OD：AC，即AC：OD=AB：BD，那么AC：AO=3：1．

解答：解：∵∠DFE=60°，∠BAC和∠DFE所對的弧組成一個圓，
∴∠BAC=120°，
連接OD、OE，
∵OA是∠BAC的平分線，
∴∠OAD=∠OAE=60°，
又∵OA=OD=OE，
∴△ODA、△OEA都是等邊三角形，
∴∠OEC=∠BDO=120°，
∴∠OEC=∠BDO=BAC，
∴OE∥AB，OD∥AE，
∴四邊形ADOE是平行四邊形，
又∵OD=OE，
∴?ADOE是菱形，
∴OA=OD=AD=AE，
又∵

AB

AO

=

3

2

，
∴AB：AD=3：2，
∴AB：BD=3：1，
又∵OD∥AC，
∴

AC

OD

=

AB

BD

，
又OD=OA，
∴

AC

AO

=

3

1

．

點評：本題利用了圓周角定理、等邊三角形的判定、菱形的判定、比例的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理．