Question

已知，如圖①，∠MON=60°，點A，B為射線OM，ON上的動點（點A，B不與點O重合），且AB=，在∠MON的內(nèi)部、△AOB的外部有一點P，且AP=BP，∠APB=120°.

（1）求AP的長；

（2）求證：點P在∠MON的平分線上；

（3） 如圖②，點C，D，E，F分別是四邊形AOBP的邊AO，OB，BP，PA的中點，連接CD，DE，EF，FC，OP.

①當AB⊥OP時，請直接寫出四邊形CDEF的周長的值；

②若四邊形CDEF的周長用t表示，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

解： (1) 過點P作PQ⊥AB于點Q  ∵PA=PB， ∠APB=120° AB=4

 

∴AQ=AB=×4=2   ∠APQ= ∠APB=×120°=60°在Rt△APQ中， sin∠APQ=∴AP= =sin60°＝4

（2） 過點P分別作PS⊥OM于點S， PT⊥ON于點T∴∠OSP=∠OTP=90° 在四邊形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°

∴∠APB=∠SPT=120° ∴∠APS=∠BPT

又∵∠ASP=∠BTP=90° AP=BP

∴△APS≌△BPT ∴PS=PT

∴點P在∠MON的平分線上

（3） ①8+4 ②4+4＜t≤8+4