Question

【題目】在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P為直線AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BP于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)Q．

（1）如圖1，當(dāng)P在線段AC上時(shí)，求證：BP=AQ；

（2）如圖2，當(dāng)P在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？　 　（填“成立”或“不成立”）

（3）在（2）的條件下，當(dāng)∠DBA=　 　度時(shí)，存在AQ=2BD，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）當(dāng)∠DBA=22.5°時(shí)，存在AQ=2BD，理由見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）首先根據(jù)內(nèi)角和定理得出∠DAP=∠CBP，進(jìn)而得出

△ACQ≌△BCP即可得出答案；
（2）延長(zhǎng)BA交PQ于H，由于 得到 推出△AQC≌△BPC(ASA)，即可得出結(jié)論；
（3）當(dāng)時(shí)，存在根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BP=2BD，通過(guò)△PBC≌△ACQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

試題解析：

（1）證明：∵∠ACB=∠ADB=90°，∠APD=∠BPC，

∴∠DAP=∠CBP，

在△ACQ和△BCP中

∴△ACQ≌△BCP（ASA），

∴BP=AQ

(2)成立，

理由：延長(zhǎng)BA交PQ于H，

∠AQC=∠BQD,

∴∠CAQ=∠DBQ，

在△AQC和△BPC中,

∴△AQC≌△BPC(ASA)，

∴AQ=BP，

故答案為：成立；

（3）22.5°，

當(dāng)∠DBA=22.5°時(shí)，存在AQ=2BD，

理由：∵∠BAC=∠DBA+∠APB=45°，

∴∠PBA=∠APB=22.5°，

∴AP=AB，

∵AD⊥BP，

∴BP=2BD，

在△PBC與△QAC中，

∴△PBC≌△ACQ，

∴AQ=PB，

∴AQ=2BD．

故答案為：22.5°.