Question

（本題滿分10分）

如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對(duì)稱軸為x＝1，且拋物線經(jīng)過(guò)A（—1，0）、C（0，—3）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．

1.（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

2.（2）在拋物線的對(duì)稱軸x＝1上求一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

3.（3）設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x＝1上的一動(dòng)點(diǎn)，求使∠PCB＝90°的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

 

 

Answer 1

【答案】

 

1.（1）設(shè)拋物線的解析式為y ＝ax2＋bx＋c，則有：

解得：，所以拋物線的解析式為y ＝x2－2x－3

2.（2）令x2－2x－3＝0，解得x1＝－１，x2＝3,所以B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．

設(shè)直線BC的解析式為y ＝kx＋b,

則，解得，所以直線解析式是y ＝x－3．

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－2．所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，－2）．

3.（3）方法一：要使∠PBC＝90°，則直線PC過(guò)點(diǎn)C，且與BC垂直，

又直線BC的解析式為y ＝x－3，

所以直線PC的解析式為y ＝－x－3，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－4，

所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，－4）．

方法二：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，y），則PC2＝12＋（－3－y）2,

BC2＝32＋32；PB2＝22＋y2

由∠PBC＝90°可知△PBC是直角三角形，且PB為斜邊，則有PC2＋BC2＝PB2．

所以：[12＋（－3－y）2]＋[32＋32]＝22＋y2；解得y ＝－4，

所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，－4）

【解析】略