Question

4．閱讀理解：
材料一、對于二次三項式x²+2ax+a²可以直接用公式法分解為（x+a）²的形式，但對于二次三項式x⁴-3x²+1，就不能直接用公式法了，我們可以把二次三項式x⁴-3x²+1中3x²拆成2x²+x²，于是
有x⁴-3x²+1=x⁴-2x²-x²+1=x⁴-2x²+1-x²=（x²-1）²-x²=（x²-x-1）（x²+x-1）．
像上面這樣把二次三項式分解因式的方法叫拆項法．
（1）請用上述方法對多項x⁴-7x²+9進行因式分解；
材料二、把一個分式寫成兩個分式的和叫做把這個分式表示成部分分式，如何將$\frac{1-3x}{{x}^{2}-1}$表示成部分分式？
設(shè)分式$\frac{1-3x}{{x}^{2}-1}$=$\frac{m}{x-1}$$+\frac{n}{x+1}$，將等式的右邊通分得：$\frac{m（x+1）+n（x-1）}{（x+1）（x-1）}$=$\frac{（m+n）x+m-n}{（x+1）（x-1）}$
由$\frac{1-3x}{{x}^{2}-1}$=$\frac{（m+n）x+m-n}{（x-1）（x+1）}$得$\left\{\begin{array}{l}{m+n=-3}\\{m-n=1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-2}\end{array}\right.$，所以$\frac{1-3x}{{x}^{2}-1}$=$\frac{-1}{x-1}$$+\frac{-2}{x+1}$．
（2）請用上述方法將分式$\frac{4x-3}{（2x+1）（x-2）}$寫成部分分式的和的形式．

Answer 1

分析 （1）利用拆項法進行因式分解即可；
（2）根據(jù)材料二提供的解題步驟與方法進行解答．

解答 解：（1）x⁴-7x²+9，
=x⁴-6x²+9-x²，
=（x²-3）²-x²，
=（x²-3+x）（x²-3-x）；

（2）設(shè)分式$\frac{4x-3}{（2x+1）（x-2）}$=$\frac{m}{2x+1}$-$\frac{n}{x-2}$，
將等式的右邊通分得：$\frac{m（x-2）-n（2x+1）}{（2x+1）（x-2）}$=$\frac{（m-2n）x-（2m+n）}{（2x+1）（x-2）}$，
由$\frac{4x-3}{（2x+1）（x-2）}$=$\frac{（m-2n）x-（2m+n）}{（2x+1）（x-2）}$得$\left\{\begin{array}{l}{m-2n=4}\\{2m+n=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-1}\end{array}\right.$，
所以$\frac{4x-3}{（2x+1）（x-2）}$=$\frac{2}{2x+1}$+$\frac{1}{x-2}$．

點評 本題考查了因式分解的應(yīng)用．熟悉材料提供的解題方法和步驟是解題的關(guān)鍵．