Question

（2012•營(yíng)口）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0）、B（0，3）、C（1，0）三點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖1，將拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸繞拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，與直線(xiàn)y=-x交于點(diǎn)N．在直線(xiàn)DN上是否存在點(diǎn)M，使∠MON=75°．若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)P、Q分別是拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c和直線(xiàn)y=-x上的點(diǎn)，當(dāng)四邊形OBPQ是直角梯形時(shí)，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法將A，B，C三點(diǎn)代入求出a，b，c即可得出解析式；
（2）首先求出EF的長(zhǎng)進(jìn)而得出F點(diǎn)的坐標(biāo)，再分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)M在射線(xiàn)ND上時(shí)，∠MON=75°，②當(dāng)點(diǎn)M在射線(xiàn)NF上時(shí)，不存在點(diǎn)M使得∠MON=75°，分別得出M點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（3）分別根據(jù)①直角梯形OBPQ中，PQ∥OB，∠OBP=90°，②在直角梯形OBPQ中，PB∥OQ，∠BPQ=90°求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)即可．

解答：（1）解：由題意把A（-3，0）、B（0，3）、C（1，0）代入y=ax²+bx+c列方程組得：

9a-3b+c=0 c=3 a+b+c=0

，解得 

a=-1 b=-2 c=3

．
∴拋物線(xiàn)的解析式是y=-x²-2x+3．  
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，4）．

（2）存在．
理由：方法（一）：
由旋轉(zhuǎn)得∠EDF=60°，在Rt△DEF中，∵∠EDF=60°，DE=4，
∴EF=DE×tan60°=4

3

．∴OF=OE+EF=1+4

3

．
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1-4

3

，0）．
設(shè)過(guò)點(diǎn)D、F的直線(xiàn)解析式是y=κx+b，
把D（-1，4），F(xiàn)（-1-4

3

，0）
代入求得 y=

3

3

x+4+

3

3

．
分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)M在射線(xiàn)ND上時(shí)，
∵∠MON=75°，∠BON=45°，
∴∠MOB=∠MON-∠BON=30°．∴∠MOC=60°．
∴直線(xiàn)OM的解析式為y=

3

x．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為方程組．

y= 3 3 x+4+ 3 3 y= 3 x

的解，解方程組得，

x=2 3 + 1 2 y=6+ 3 2

．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2

3

+

1

2

，6+

3

2

）．
②當(dāng)點(diǎn)M在射線(xiàn)NF上時(shí)，不存在點(diǎn)M使得∠MON=75°
理由：∵∠MON=75°，∠FON=45°，∴∠FOM=∠MON-∠FON=30°．
∵∠DFE=30°，∴∠FOM=∠DFE．∴OM∥FN．∴不存在，
綜上所述，存在點(diǎn)M，且點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2

3

+

1

2

，6+

3

2

）．

方法（二）①M(fèi)在射線(xiàn)ND上，過(guò)點(diǎn)M作MP⊥x軸于點(diǎn)P，
由旋轉(zhuǎn)得∠EDF=60°，在Rt△DEF中，∵∠EDF=60°，DE=4
∴EF=DE×tan60°=4

3

．∴OF=OE﹢EF=1+4

3

．
∵∠MON=75°，∠BON=45°，∴∠MOB=∠MON-∠BON=30°．
∴∠MOC=60°．在Rt△MOP中，∴MP=

3

OP．
在Rt△MPF中，∵tan∠MFP=

MP

PF

，
∴

3 OP

1+OP+4 3

=

3

3

．
∴OP=2

3

﹢

1

2

．∴MP=6﹢

3

2

．
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（2

3

﹢

1

2

、6﹢

3

2

），
②M在射線(xiàn)NF上，不存在點(diǎn)M使得∠MON=75°
理由：∵∠MON=75°，∠FON=45°，∴∠FOM=∠MON-∠FON=30°．
∵∠DFE=30°．∴∠FOM=∠DFE．∴OM∥DN．∴不存在．
綜上所述，存在點(diǎn)M，且點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2

3

+

1

2

，6+

3

2

）．

（3）有兩種情況①直角梯形OBPQ中，PQ∥OB，∠OBP=90°．
如圖2，∵∠OBP=∠AOB=90°，∴PB∥OA．
所以點(diǎn)P、B的縱坐標(biāo)相同都是3．
因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線(xiàn)y=-x²-2x+3上，
把y=3代入拋物線(xiàn)的解析式中得x₁=0（舍去），x₂=-2．
由PQ∥OB得到點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)相同，
都等于-2．把x=-2代入y=-x得y=2．
所以Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，2）．
②在直角梯形OBPQ中，PB∥OQ，∠BPQ=90°．
如圖3，∵D（-1，4），B（0，3），∴DB∥OQ．∵PB∥OQ，
點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，∴點(diǎn)P、D重合．
∴∠EDF=∠EFD=45°．∴EF=ED=4．
∴OF=OE+EF=5．
作QH⊥x軸于H，∵∠QOF=∠QFO=45°，
∴OQ=FQ．∴OH=

1

2

OF=

5

2

．
∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)-

5

2

．∵Q點(diǎn)在y=-x上，∴把x=-

5

2

代入y=-x得y=

5

2

．∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

5

2

，

5

2

）．
綜上，符合條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為：（-2，2），（-

5

2

，

5

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及銳角三角函數(shù)的應(yīng)用和圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知進(jìn)行分類(lèi)討論得出是解題關(guān)鍵．