Question

如圖，在矩形ABCO中，AO=3，tan∠ACB=，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC為x軸，OA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系。設(shè)D，E分別是線段AC，OC上的動(dòng)點(diǎn)，它們同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)D以每秒3個(gè)單位的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。
（1）求直線AC的解析式；
（2）用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)y為何值時(shí)，△ODE為直角三角形？
（4）在什么條件下，以Rt△ODE的三個(gè)頂點(diǎn)能確定一條對(duì)稱(chēng)軸平行于y軸的拋物線？并請(qǐng)選擇一種情況，求出所確定拋物線的解析式。

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，得CO=AB=4，則A（0，3），B（4，3），
∴直線AC：；
（2）分別作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分別為F，H，
則有△ADF∽△DCH∽△ACO，
∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC，
而AD=3t（其中0≤t≤），OC=AB=4，AC=5，
∴FD=AD=，AF=AD=，
DH=，HC=，
∴D（，）；
（3）CE=t，E（t，0），OE=OC-CE=4-t，HE=|CH-CE|=，
則OD²=DH²+OH²=，
DE²=DH²+HE²=，
當(dāng)△ODE為Rt△時(shí)，有OD²+DE²=OE²，或OD²+OE²=DE²，或DE²+OE²=OD²，
即①，
或②，
或③，
上述三個(gè)方程在0≤t≤內(nèi)的所有實(shí)數(shù)解為
t₁=，t₂=1，t₃=0，t₄=；
（4）當(dāng)DO⊥OE，及DE⊥OE時(shí)，即填t₃=0和t₄=時(shí)，
以Rt△ODE的三個(gè)頂點(diǎn)不確定對(duì)稱(chēng)軸平行于y軸的拋物線，
其它兩種情況都可以各確定一條對(duì)稱(chēng)軸平行于y軸的拋物線
D（），E（4-t，0）
當(dāng)t₂=1時(shí)，D（），E（3，0），
因?yàn)閽佄锞�過(guò)O（0，0），
所以設(shè)所求拋物線為y=ax²+bx，將點(diǎn)D，E坐標(biāo)代入，求得a=-，b=，
∴所求拋物線為y=-x²＋ｘ。
（當(dāng)t₁=時(shí)，所求拋物線為y=x²+x）