Question

已知拋物線的解析式為

（1）求證：不論m為何值，此拋物線與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩交點(diǎn)A、B之間的距離為定值；

（2）設(shè)點(diǎn)P為此拋物線上一點(diǎn)，若△PAB的面積為8，求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若（2）中△PAB的面積為S（S>0），試根據(jù)面積S值的變化情況，確定符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)（本小題直接寫出結(jié)論，不要求寫出計(jì)算、證明過程）.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析；（2）（m，4）或(，−4)或（，-4）；（3）當(dāng)s=8時(shí)，符合條件的點(diǎn)P有3個(gè)，當(dāng)0＜s＜8時(shí)，符合條件的點(diǎn)P有4個(gè)，當(dāng)s＞8時(shí)，符合條件的點(diǎn)P有2個(gè)．

【解析】

試題分析：（1）本題需先求出△的值，再證出△＞0，再設(shè)出A、B的坐標(biāo)，然后代入公式即可求出AB的長；

（2）本題需先設(shè)出P的坐標(biāo)，再由題意得出b的值，然后即可求出符合條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）本題需分當(dāng)s=8時(shí)，當(dāng)0＜s＜8時(shí)，當(dāng)s＞8時(shí)三種情況進(jìn)行討論，即可得出符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．

試題解析：：（1）∵△=（2m）²-4×（-1）（4-m²）=16＞0，

∴不論m取何值，此拋物線與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)．

設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），

則（定值）.

（2）設(shè)P（a，b），則由題意b=-a²+2am+4-m²，且，

解得b=±4．

當(dāng)b=4時(shí)得：a=m，即P（m，4）；

當(dāng)b=-4時(shí)得：，即P(，−4)或P（，-4）.

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，4）或(，−4)或（，-4）.

（3）由（2）知當(dāng)s=8時(shí)，符合條件的點(diǎn)P有3個(gè)，當(dāng)0＜s＜8時(shí)，符合條件的點(diǎn)P有4個(gè)，當(dāng)s＞8時(shí)，符合條件的點(diǎn)P有2個(gè)．

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)的和性質(zhì)；2.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；3.分類思想的應(yīng)用.