Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點N是CD的中點，M是AD邊上不同于點A、D的點，若sin∠ABM=，求證：∠NMB=∠MBC．

Answer 1

【答案】分析：可構建等腰三角形來解答，如圖，證明△MBE是等腰三角形，關鍵是證明△MND≌△ENC，點N是CD的中點，∠MDN=∠ECN=90°，∠MND=∠ENC；設AM=1，由，由勾股定理得，，所以，，CE=MD=2、，所以，ME=MN+NE=BE=BC+CE=5，即可證明；
解答：證明：如圖，分別延長BC、MN相交于點E，
設AM=1，∵，
∴，得，
∴，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴DM=AD-AM=2，且，
在Rt△DMN中，，
又∵∠MDN=∠ECN=90°、∠MND=∠ENC，
∴△MDN≌△ECN（ASA）
∴CE=MD=2、，
∴ME=MN+NE=5、BE=BC+CE=5，
∴ME=BE，
∴∠NMB=∠MBC．
點評：本題考查了正方形勾股定理的運用、全等三角形及等腰三角形的判定，本題綜合性較強，證明△MND≌△ENC，是解答本題的關鍵．