Question

在直角坐標系xOy中，拋物線y=x²-2tx+t²-t（t＞0）與x軸的兩個交點分別為A、B（A在B的左邊），直線l：y=kx經(jīng)過拋物線的頂點C，與拋物線的另一個交點為D．
（1）求拋物線的頂點C的坐標（用含t的代數(shù)表示），并求出直線l 的解析式；
（2）如圖①，當時，探究AC與BD的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）當t≠1時，設(shè)△ABC的面積為S₁，△ABD的面積為S₂，用含t的代數(shù)式表示的值．

Answer 1

解：（1）y=x²-2tx+t²-t=（x-t）²-t，
∴頂點C的坐標為（t，-t），
∵y=kx經(jīng)過拋物線的頂點C，
∴將點C代入y=kx，即-t=kt，
∵t≠0，
∴k=-1，
∴直線l的解析式為y=-x；

（2）把t=代入拋物線解析式y(tǒng)=（x-t）²-t中，得y=（x-）²-，令y=0，解得：x₁=，x₂=-，
∴A（-，0）、B（，0）
聯(lián)立方程，解得：x₁=-，x₂=，
∴C（，-）、D（-，）
∴tan∠DBA=tan∠CAB=，
∴∠DBA=∠CAB，
∴AC∥BD；

（3）∵△ABC、△ABD同底，
∴=||
聯(lián)立方程，
解得x₁=t，x₂=t-1，
∴y_C=-t，y_D=1-t，
∴=||=||=．
分析：（1）先把拋物先的解析式化為頂點式的形式，求出其頂點坐標，再把其頂點坐標代入y=kx即可求出k的值，進而求出直線l的解析式；
（2）把t=代入拋物線解析式y(tǒng)=（x-t）²-t中，得y=（x-）²-，令y=0即可求出A、B兩點的坐標，把此拋物線的解析式與直線l的解析式聯(lián)立可求出C、D兩點的坐標，再由tan∠DBA=tan∠CAB=可得出∠DBA=∠CAB，由平行線的判定定理可知AC∥BD；
（3）由△ABC、△ABD同底可知=||，把直線l與拋物線的解析式聯(lián)立求出x₁，x₂的值，代入直線解析式可得出y_C，y_D的值，進而可得出結(jié)論．
點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到三角形的面積公式、正比例函數(shù)的性質(zhì)、平行線的判定定理，涉及面較廣，難度較大．