Question

如圖，P₁是反比例函數(shù)y=（k＞0）在第一象限圖象上的一點(diǎn)，點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）當(dāng)點(diǎn)P₁的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，△P₁OA₁的面積將如何變化？
（2）若△P₁OA₁與△P₂A₁A₂均為等邊三角形，求此反比例函數(shù)的解析式及A₂點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)P₁（a，b），根據(jù)反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，可知y隨x的增大而減�。�又△P₁OA₁的面積=×0A₁×b=b．故當(dāng)點(diǎn)P₁的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，△P₁OA₁的面積將逐漸減�。�
（2）由于△P₁OA₁為等邊三角形，作P₁C⊥OA₁，垂足為C，由等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理可求出點(diǎn)P₁的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P₁是反比例函數(shù)y=圖象上的一點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出此反比例函數(shù)的解析式；作P₂D⊥A₁A₂，垂足為D．設(shè)A₁D=a，由于△P₂A₁A₂為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理，可用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)P₂的橫、縱坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)的解析式中，求出a的值，進(jìn)而得出A₂點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）過P₁作P₁C⊥OA₁，垂足為C，
設(shè)P₁（a，b），
∵P₁在第一象限，
∴△P₁OA₁的面積=×0A₁×b=b．
又∵當(dāng)k＞0時(shí)，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小．
故當(dāng)點(diǎn)P₁的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，△P₁OA₁的面積將逐漸減小．

（2）因?yàn)椤鱌₁OA₁為邊長(zhǎng)是2的等邊三角形，
所以O(shè)C=1，P₁C=2×=，
所以P₁（1，）．
代入y=，得k=，
所以反比例函數(shù)的解析式為y=．
作P₂D⊥A₁A₂，垂足為D．
設(shè)A₁D=a，
則OD=2+a，P₂D=a，
所以P₂（2+a，a）．
∵P₂（2+a，a）在反比例函數(shù)的圖象上，
∴代入y=，得（2+a）•a=，
化簡(jiǎn)得a²+2a-1=0
解得：a=-1±．
∵a＞0，
∴a=-1+．∴A₁A₂=-2+2，
∴OA₂=OA₁+A₁A₂=2，
所以點(diǎn)A₂的坐標(biāo)為（2，0）．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正三角形的性質(zhì)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用．