Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，直線l垂直平分線段AC，垂足為O，直線l分別與線段AD、CB的延長線交于點E、F．
（1）△ABC與△FOA相似嗎？為什么？
（2）試判定四邊形AFCE的形狀，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線l垂直平分線段AC，
∴∠AFO=∠CFO，
∵∠CFO+∠FCO=∠CAB+∠FCO=90°，
∴∠AFO=∠CAB，
∵∠AOF=∠CBA=90°，
∴△ABC∽△FOA．

（2）由（1）知△ABC∽△FOA，
∴∠ACB=∠FAC，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠EAC，
∴∠FAC=∠EAC，
在△AOF與△AOE中，
，
∴△AOF≌△AOE（ASA），
∴AE=AF，F(xiàn)O=EO．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∴四邊形AFCE是菱形．
分析：（1）根據(jù)角平分線的定義，同角的余角相等可知∠AFO=∠CAB，根據(jù)垂直的定義，矩形的性質(zhì)可知∠ABC=∠FOA，由相似三角形的判定可證△ABC與△FOA相似；
（2）先證明四邊形AFCE是平行四邊形，再根據(jù)對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判斷．
點評：考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，菱形的判定，綜合性較強，有一定的難度．