【題目】ABC中,ACB=90°經(jīng)過點B的直線l(l不與直線AB重合)與直線BC的夾角等于ABC,分別過點C、A做直線l的垂線,垂足分別為點D、E.

(1)問題發(fā)現(xiàn)

ABC=30°,如圖,則= ;

ABC=45°,如圖,則=

(2)拓展探究

當(dāng)0°ABC90°,的值有無變化?請僅就圖的情形給出證明.

(3)問題解決

若直線CE、AB交于點F,=,CD=4,請直接寫出線段BD的長.

【答案】(1);;(2)的值無變化,理由詳見解析;(3) 2或8.

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD=BC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BC=AE,等量代換得到CD=AE,即可得到結(jié)論;如圖,推出ACB是等腰直角三角形,求得CBD=45°,證得B與E重合,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EF=AE根據(jù)矩形的性質(zhì)得到EF=CD,與得到結(jié)論;

(2)如圖,延長AC與直線L交于G,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BA=BG,證得CDAE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到;

(3)當(dāng)點F在線段AB上時,過C作CGl交AE于H,交AB于G,推出CFG∽△EFB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,設(shè)CG=5x,BE=6x,則AB=10x,∵∠根據(jù)勾股定理得到AE=8x,由(2)得AE=2CD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,于是得到CH=CG+HG=8,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到DE=CH=8,求得BD=DE=BE=2,如圖,當(dāng)點F在線段BA的延長線上時,過點C作CGl交AE于點H,交AB于G,同理可得求得結(jié)論.

試題解析:(1)CDBD,

∴∠CDB=90°,

∵∠DBC=ABC=30°,

CD=BC,

ABE與ABC中,

ACB=AEB=90°,BAE=ABC=30°,AB=BA,

∴△ABC≌△ABE,

BC=AE,

CD=AE,

=;

如圖,∵∠ABC=45°ACB=90°,

∴△ACB是等腰直角三角形,

∵∠CBD=45°,

∴∠ABD=90°,

AEBC,

B與E重合,

EF=AE,

CDBD,

四邊形CDEF的矩形,

EF=CD,

CD=AE,

=

故答案為:;;

(2)的值無變化,

理由:如圖,延長AC與直線L交于G,

∴∠ABC=CBG,

∵∠ACB=90°,

∴∠AGB=BAG,

BA=BG,

AEl,CDl,

CDAE,

∴△GCD∽△GAE,

(3)如圖4,當(dāng)點F在線段AB上時,過C作CGl交AE于H,交AB于G,

∴∠DBC=HCB,

∵∠DBC=CBF,

∴∠CBF=HCB,

CG=BG,

∵∠ACB=90°,

∴∠CAG+CBF=HCB+ACG=90°,

∴∠ACG=CAG,

CG=AG=BG,

CGl,

∴△CFG∽△EFB,

,

設(shè)CG=5x,BE=6x,

則AB=10x,

∵∠AEB=90°,

AE=8x,

由(2)得AE=2CD,

CD=4,

AE=8,

x=1,

AB=10,BE=6,CG=5,

GHl,

∴△AGH∽△ABE,

,

HG=3,

CH=CG+HG=8,

CGl,CDAE,

四邊形CDEH為平行四邊形,

DE=CH=8,

BD=DE=BE=2,

如圖,當(dāng)點F在線段BA的延長線上時,過點C作CGl交AE于點H,交AB于G,

同理可得CG=5,BH=6,HG=3,

DE=CH=CG﹣HG=2,

BD=DE+BE=8,

綜上可得BD=2或8.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知AB=AC,∠A=36°,AB的中垂線MNAC于點D,AB于點M,

求證:(1)BD平分∠ABC;

(2)△BCD為等腰三角形.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,直線y=x+2與拋物線y=+bx+6(a0)相交于A(,)和B(4,m),點P是線段AB上異于A、B的動點,過點P作PCx軸于點D,交拋物線于點C.

(1)求拋物線的解析式;

(2)是否存在這樣的P點,使線段PC的長有最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由;

(3)求PAC為直角三角形時點P的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列各組數(shù)中,不能作為直角三角形三邊長的是( 。

A. 1.5,2,3 B. 5,12,13 C. 7,24,25 D. 8,15,17

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一個四邊形的周長是48厘米,已知第一條邊長a厘米,第二條邊比第一條邊的2倍長3厘米,第三條邊等于第一、二兩條邊的和,寫出表示第四條邊長的整式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.若∠BOC=70°,∠AOC=50°.
(1)求出∠AOB及其補(bǔ)角的度數(shù);
(2)請求出∠DOC和∠AOE的度數(shù),并判斷∠DOE與∠AOB是否互補(bǔ),并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】甲乙兩個旅游團(tuán)共80人,甲團(tuán)比乙團(tuán)人數(shù)的2倍多5人,甲乙兩團(tuán)各有多少人?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】計算(+5)+(﹣2)的結(jié)果是( )
A.7
B.﹣7
C.3
D.﹣3

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,ABC中,AB=AC,點D為BC上一點,且AD=DC,過A,B,D三點作O,AE是O的直徑,連結(jié)DE.

(1)求證:AC是O的切線;

(2)若sinC=,AC=6,求O的直徑.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案