Question

（2006•武漢）（北師大版）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的⊙O的半徑為-1，直線a：y=-x-與坐標(biāo)軸分別交于A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1），⊙B與X軸相切于點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及∠CAO的度數(shù)；
（2）⊙B以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸負(fù)方向平移，同時(shí)，直線a繞點(diǎn)A順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)．當(dāng)⊙B第一次與⊙O相切時(shí)，直線a也恰好與⊙B第一次相切．問：直線AC繞點(diǎn)A每秒旋轉(zhuǎn)多少度；
（3）如圖2，過A，O，C三點(diǎn)作⊙O₁，點(diǎn)E是劣弧上一點(diǎn)，連接EC，EA．EO，當(dāng)點(diǎn)E在劣弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與A，O兩點(diǎn)重合），的值是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，說明理由

Answer 1

【答案】分析：（1）已知點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，故可推出OA=OC，最后可得∠CAO=45°．
（2）依題意，設(shè)⊙B平移t秒到⊙B₁處與⊙O第一次相切，連接B₁O，B₁N，則MN=3．連接B₁A，B₁P可推出∠PAB₁=∠NAB₁．又因?yàn)镺A=OB₁=，故∠AB₁O=∠NAB₁，∠PAB₁=∠AB₁O繼而推出PA∥B₁O．然后在Rt△NOB₁中∠B₁ON=45°，∴∠PAN=45°得出∠PAC=90°．然后可得直線AC繞點(diǎn)A平均每秒90度．
（3）在CE上截取CK=EA，連接OK，證明△OAE≌△OCK推出OE=OK，∠EOA=∠KOC，∠EOK=∠AOC=90°．最后可證明=．
解答：解：（1）令直線a：y=-x-中，y=0求出x=-，
∴A（-，0），
令x=0求出y=-，∴C（0，-），
∴OA=OC，
∵OA⊥OC，
∴△AOC為等腰直角三角形，
∴∠CAO=45°；

（2）如圖，設(shè)⊙B平移t秒到⊙B₁處與⊙O第一次相切，此時(shí)，直線α旋轉(zhuǎn)到α₁恰好與⊙B₁第一次相切于點(diǎn)P，⊙B₁與x軸相切于點(diǎn)N，
連接B₁O，B₁N，則MN=t，OB₁=，
B₁N⊥AN，∴MN=3，即t=3．
連接B₁A，B₁P．則B₁P⊥AP，B₁P=B₁N．∴∠PAB₁=∠NAB₁
∵OA=OB₁=，∴∠AB₁O=∠NAB₁∴∠PAB₁=∠AB₁O．∴PA∥B₁O．
在Rt△NOB₁中，∠B₁ON=45°，
∴∠PAN=45°，∴∠PAC=90°，即順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)270°，
∴直線AC繞點(diǎn)A平均每秒90°．

（3）的值不變，等于，如圖
在CE上截取CK=EA，連接OK，
∵∠OAE=∠OCK，OA=OC，
∴△OAE≌△OCK，
∴OE=OK，∠EOA=∠KOC，
∴∠EOK=∠AOC=90°，
∴EK=EO，∴=．
點(diǎn)評(píng)：命題立意：此題綜合考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的求法、函數(shù)、圖形的平移與旋轉(zhuǎn)、圓的有關(guān)性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性強(qiáng)，難度較大，把重點(diǎn)知識(shí)穿插進(jìn)行了考查．