Question

如圖，△ABC中，分別在AB、AC上取點(diǎn)D、E，使得BD=CE，連結(jié)BE、CD相交于點(diǎn)P，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∠BAC的平分線AQ與PM相交于點(diǎn)Q．求證：四邊形BPCQ是平行四邊形．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定

專題：證明題

分析：在射線PM上取Q'，使PM=MQ'，連AQ'，BQ'，CQ'，DQ'，EQ'．易證BPCQ'是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)和三角形面積間的數(shù)量關(guān)系推知Q'到AB的距離=Q'到AC的距離，則Q'在∠BAC的平分線AQ上，所以Q'與Q重合．故四邊形BPCQ即四邊形BPCQ'為平行四邊形．

解答：解：在射線PM上取Q'，使PM=MQ'，連AQ'，BQ'，CQ'，DQ'，EQ'．
∵BM=MC，PM=MQ'，
∴BPCQ'是平行四邊形，即有CP∥BQ'，BP∥CQ'，
∴S_△DBQ'=S_△CBQ'=S_△CEQ'．
又∵BD=CE，
∴Q'到AB的距離=2•

S△DBQ′

BD

=2•

S△CEQ′

CE

=Q'到AC的距離，
∴Q'在∠BAC的平分線AQ上．
于是Q'為PM與AQ的交點(diǎn)，即Q'與Q重合．
故四邊形BPCQ即四邊形BPCQ'為平行四邊形．

點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形判定．此題實(shí)際上是利用了逆證法推知四邊形BPCQ為平行四邊形的．