Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸與AC平行，y軸與CB平行，建立直角坐標(biāo)系，AC與y軸交于點(diǎn)M，BC與x軸交于點(diǎn)N．將一把三角尺的直角頂點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn)O處，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊分別交射線CA、射線BC于點(diǎn)P、Q．
（1）證明：△OMP∽△ONQ；
（2）若∠A=60°，AB=4．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，PQ長(zhǎng)為L(zhǎng)．當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求L與x的函數(shù)關(guān)系式及定義域；
（3）若∠A=60°，AB=4．當(dāng)△PQC的面積為時(shí)，試求CP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)∠OMC=∠ONQ=90°，∠MOP=∠NOQ，即可得出△OMP∽△ONQ；
（2）根據(jù)OM=AOsin60°=，求出P縱坐標(biāo)，設(shè)P（x，-），PM=|x|，根據(jù)△BON≌△OAM，得出AM=ON，AM=AOcos60°=1，由相似得==，OP=OQ，得出OP²和OQ²，即可求出L²，從而得出A和C點(diǎn)的坐標(biāo)，最后求出L與x的函數(shù)關(guān)系式及定義域；
（3）根據(jù)PQ=L，得出CP=1-x和，再根據(jù)PM=|x|，QN=，得出CQ的值，最后根據(jù)S=CQ•CP，得出x的值，即可求出CP的長(zhǎng)；
解答：（1）證明：∵∠OMC=∠ONQ=90°，
∵∠MOP=90°-∠PON，∠NOQ=90°-∠PON
∴∠MOP=∠NOQ
∴△OMP∽△ONQ；

（2）解：AO==2，
OM=AOsin60°=，
∴P縱坐標(biāo)是-，
P（x，-），PM=|x|，
∵O是AB中點(diǎn)，
∴△BON≌△OAM，
∴AM=ON，
AM=AOcos60°=1，
由上面相似得==，
∴OP=OQ，
OP²=OM²+MP²=3+x²
OQ²==，
L²=，
L=，
CM=ON=AM=1
∴A（-1，-），C（1，-），
∴-1≤x≤1，

（3）解：PQ=L=，
AC=2，
則CM=1，
∴CP=1-x，
∵=，
∴=，
PM=|x|，QN=ON=，
CN=OM=，
∴CQ=QN+CN=+，
∴S=CQ•CP=（+）（1-x）=，
x₁=0，x₂=1-，
∵-1＜x＜1，
∴x=1-，
CP=1-x=1-（1-）=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出線段的長(zhǎng)度，在計(jì)算時(shí)要注意x的取值范圍．