Question

如圖，已知與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B（5，0）的拋物線l₁的頂點(diǎn)為C（3，4），拋物線l₂與l₁關(guān)于x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)為C′．
（1）求拋物線l₂的函數(shù)關(guān)系式；
（2）已知原點(diǎn)O，定D（0，4），l₂上的點(diǎn)P與l₁上的P′始終關(guān)于x軸對(duì)稱，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，以點(diǎn)D、O、P、P′為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？
（3）設(shè)l₂上的點(diǎn)M、N分別與l₁上的點(diǎn)M′、N′始終關(guān)于x軸對(duì)稱．是否存在點(diǎn)M、N（M在N的左側(cè)），使四邊形MNN?M?是正方形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出C′點(diǎn)坐標(biāo)，將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=a（x-3）²-4即可求得拋物線l₂的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由題意可知PP′與y軸平行，令2|m²-6m+5|=4解方程，求得m的值，便可求出滿足題意得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由題意可知點(diǎn)M、N關(guān)于直線x=3對(duì)稱，正方形MNN′M′的邊長為2|y₀|，解方程求出y₀即可求出相應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意知點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（3，-4）．
設(shè)l₂的函數(shù)關(guān)系式為y=a（x-3）²-4．（1分）
又因?yàn)辄c(diǎn)A（1，0）在拋物線y=a（x-3）²-4上，
a（1-3）²-4=0，解得a=1．
∴拋物線l₂的函數(shù)關(guān)系式為y=（x-3）²-4
（或y=x²-6x+5）．（2分）

（2）∵P與P′始終關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴PP′與y軸平行．
設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為m，則其縱坐標(biāo)為m²-6m+5，
∵OD=4，
∴2|m²-6m+5|=4，即m²-6m+5=±2．
當(dāng)m²-6m+5=2時(shí)，解得m=3±

6

．
當(dāng)m²-6m+5=-2時(shí)，解得m=3±

2

．
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（3-

6

，2）或（3+

6

，2）或到（3-

2

，-2）或（3+

2

，-2）時(shí)，PP′∥OD且PP′=OD，
以點(diǎn)為D、O、P、P′為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．（6分）

（3）存在滿足條件的點(diǎn)M、N．由拋物線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)M、N關(guān)于直線x=3對(duì)稱．
設(shè)M（x₀，y₀），則正方形MNN′M′的邊長為2|y₀|．
∵點(diǎn)M在l₂上，
∴y₀=（3-|y₀|-3）²-4，
解得y₀=

1± 17

2

．
∴x₀=3-|y₀|=

5- 17

2

或

7- 17

2

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

5 - 17

2

，

1+ 17

2

）或（

7- 17

2

，

1- 17

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的公式的求法和平行四邊形和正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合和分類討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．