【題目】已知:矩形OABC的頂點O在平面直角坐標(biāo)系的原點,邊OA、OC分別在x、y軸的正半軸上,且OA=3cm,OC=4cm,點M從點A出發(fā)沿AB向終點B運動,點N從點C出發(fā)沿CA向終點A運動,點M、N同時出發(fā),且運動的速度均為1cm/秒,當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時,另一點即停止運動.設(shè)運動的時間為t秒.

(1)當(dāng)點N運動1秒時,求點N的坐標(biāo);(提示:過N作x軸y軸垂線,垂足分別為D,ECN:CA=CE:CO=NE:OA)

(2)試求出多邊形OAMN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式;

(3)t為何值時,以△OAN的一邊所在直線為對稱軸翻折△OAN,翻折前后的兩個三角形所組成的四邊形為菱形?

【答案】(1)N的坐標(biāo)為

(2)多邊形OAMN的面積S=,(0≤t≤4).

(3)t的值為

【解析】試題分析:(1)過NNEy軸,作NFx軸,由CEN∽△COA,利用相似比求EN,再用勾股定理求CE,確定N點坐標(biāo);(2)將多邊形OAMN分為ONAAMN,用t分別表示兩個三角形的面積,再求和即可;(3)分為①直線ON為對稱軸,②直線OA為對稱軸,③直線AN為對稱軸,畫出圖形,根據(jù)菱形的特殊性,列方程求解.

試題解析:(1)t=1CN=1,AM=1

NNEy軸,作NFx

NNEy軸,NFx軸,

∴△CEN∽△COA,

,即,

EN=

由勾股定理得:,

(2)由(1)得,,

N點坐標(biāo)為

∵多邊形OAMNONAAMN組成

,,

∴多邊形OAMN的面積S=(0≤t≤4).

(3)①直線ON為對稱軸時,翻折OAN得到OA′N,此時組成的四邊形為OANA′,

當(dāng)AN=A′N=A′O=OA,四邊形OANA’是菱形.

AN=OA,5-t=3t=2.

②直線OA為對稱軸時,翻折OAN得到OAN′,

此時組成的四邊形為ONAN′,連接NN′,交OA于點G.

當(dāng)NN′OA互相垂直平分時,四邊形ONAN′是菱形.

OANN′,OG=AG=

NGCO,∴點NAC的中點,

CN=,

③直線AN為對稱軸時,翻折OAN得到O′AN,

此時組成的四邊形為ONO′A,連接OO’,交AN于點H.

當(dāng)OO′AN互相垂直平分時,四邊形ONO’A是菱形.

OHAC,AH=NH=,

由面積法可求得OH=

RtOAH中,由勾股定理得,AH=

,

綜上所述,t的值為

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C.(180﹣2x)﹣(120﹣x)=30
D.(180+2x)﹣(120+x)=30

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