Question

（2010•武漢模擬）如圖1，已知直線y=x+2與x軸交于點A，交y軸于C、拋物線y=ax²+4ax+b經過A、C兩點，拋物線交x軸于另一點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點Q在拋物線上，且有△AQC和△BQC面積相等，求點Q的坐標；
（3）如圖2，點P為△AOC外接圓上的中點，直線PC交x軸于D，∠EDF=∠ACO．當∠EDF繞D旋轉時，DE交AC于M，DF交y軸負半軸于N、問CN-CM的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若變化，求出變化范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線AC的解析式可求得A、C的坐標，將它們代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）此題應分作兩種情況考慮：
①當Q點在AC段的拋物線圖象上時，由于△BCQ、△ACQ等底，若它們的面積相等，那么它們的CQ邊上的高必相等，即CQ∥AB，根據(jù)拋物線的對稱軸和點C的坐標即可得到點Q的坐標；
②當Q在AC段以為的拋物線圖象上時，設直線CQ與x軸的交點為R，那么△ACQ、△BCQ的面積分別可表示為：AR•|y_C-y_Q|和BR•|y_C-y_Q|，因此兩個三角形可看作是等高的三角形，因此“底邊”AR=BR，即R是AB的中點，易得R的坐標，可求出直線CR的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式，即可求得點Q的坐標．
（3）過點D作∠NDR=∠PDE，交y軸于R，那么∠RDC=∠NDM=∠ACO；由于P是△AOC外接圓⊙S上的中點，根據(jù)垂徑定理可知，SR所在直線必平行于y軸，那么∠PSC=∠ACO=∠RDC，易證得∠SPC=∠DCR，那么△SPC∽△DCR，由于△PSC是等腰三角形，那么△DCR也是等腰三角形，即CD=DR，易證得∠CMD=∠RND，則可證得△DCM≌△DRN，可得CM=RN，即CN-CM=CR=2OC，由此得解．
解答：解：（1）由直線AC的解析式可得：A（-5，0），C（0，2）；
代入拋物線的解析式中可得：，
解得；
故拋物線的解析式為：y=-x²-x+2．

（2）易知B（1，0）；
①當Q在AC段的拋物線上時，
△ACQ和△BCQ同底，若它們的面積相等，則A、B到直線CQ得距離相等，即CQ∥AB；
由于拋物線的對稱軸為x=-2，
故Q（-4，2）；
②當Q在線段AC外的直線上時，
△ACQ的面積為：AL•|y_C-y_Q|，
△BCQ的面積為：BL•|y_C-y_Q|，
若兩個三角形的面積相等，
那么AL=BL，
即L是線段AB的中點，即L（-2，0）；
易知直線CL的解析式為：y=x+2，聯(lián)立拋物線的解析式得：
，
解得，；
故Q（-，-）；
綜上所述，存在兩個符合條件的點Q，且坐標為：Q（-4，2）或（-，-）．

（3）如圖，設△AOC的外接圓圓心為S；
作∠NDR=∠PDE，交y軸于R；
則∠PDR=∠MDN=∠ACO；
由于P點是的中點，由垂徑定理知SP必平行于y軸，得：
∠PSC=∠ACO=∠CDR，∠SPC=∠RCD；
則△SCP∽△DCR，
所以△CDR也是等腰三角形；
即CD=DR，OC=OR；
∵∠PCS=∠DRC，
∴∠DCM=∠DRN，
又∵∠CDM=∠NDR，CD=DR，
∴△DCM≌△DRN，
得CM=RN，
故CN-CM=CR=2OC；
所以CN-CM的值不變，恒為2OC，即4．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、函數(shù)圖象交點坐標的求法、全等三角形的判定和性質等重要知識點；（2）題中，由于點Q的位置不確定，所以一定要將問題考慮全面，不要漏解；（3）題中，能夠正確的構建出全等三角形是解決問題的關鍵，此題涉及的知識點較多，難度很大．