Question

2．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=$\frac{3}{4}$x-3分別與x軸、y軸交于點A、B，點P的坐標為（0，4）．若點M在直線AB上，則PM長的最小值為$\frac{28}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)垂線段最短得出PM⊥AB時線段PM最短，分別求出PB、OB、OA、AB的長度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本題的答案．

解答 解：如圖，過點P作PM⊥AB，則：∠PMB=90°，當PM⊥AB時，PM最短，
∵直線y=$\frac{3}{4}$x-3與x軸、y軸分別交于點A，B，
∴點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（0，-3），
在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7，
∴△PBM∽△ABO，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{PM}{AO}$，即$\frac{7}{5}=\frac{PM}{4}$，解得：PM=$\frac{28}{5}$．
故答案為：$\frac{28}{5}$

點評 本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標特點以及三角形相似的性質(zhì)與判定等知識點，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．