已知平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖),一次函數(shù)的圖象與y軸交于點A,點M在正比例函數(shù)的圖象上,且MO=MA.二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A、M.
(1)求線段AM的長;
(2)求這個二次函數(shù)的解析式;
(3)如果點B在y軸上,且位于點A下方,點C在上述二次函數(shù)的圖象上,點D在一次函數(shù)的圖象上,且四邊形ABCD是菱形,求點C的坐標(biāo).

【答案】分析:(1)先求出根據(jù)OA垂直平分線上的解析式,再根據(jù)兩點的距離公式求出線段AM的長;
(2)二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A、M.待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式;
(3)可設(shè)D(n,n+3),根據(jù)菱形的性質(zhì)得出C(n,n2_ n+3)且點C在二次函數(shù)y=x2_ x+3上,得到方程求解即可.
解答:解:(1)在一次函數(shù)y=x+3中,
當(dāng)x=0時,y=3.
∴A(0,3).
∵MO=MA,
∴M為OA垂直平分線上的點,
可求OA垂直平分線上的解析式為y=,
又∵點M在正比例函數(shù)
∴M(1,),
又∵A(0,3).
∴AM=

(2)∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A、M.可得
,
解得
∴y=x2-x+3;

(3)∵點D在一次函數(shù)的圖象上,
則可設(shè)D(n,n+3),
設(shè)B(0,m),(m<3),C(n,n2-n+3)
∵四邊形ABDC是菱形,
∴|AB|=3-m,|DC|=|yD-yC|=|n+3-(n2_n+3)|=|n-n2|,
|AD|==|n|,
∵|AB|=|DC|,
∴3-m=n-n2,①,
∵|AB|=|DA|,
∴3-m=n,②
解①②得,n1=0(舍去),n2=2,
將n=2,代入C(n,n2_n+3),
∴C(2,2).
點評:本題是二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及的知識點有拋物線解析式的確定,兩點的距離公式,菱形的性質(zhì),解二元一次方程,綜合性較強,難度較大.
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21、已知平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(2,2),B(1,-1),C(3,0).
(1)在圖1中,畫出以點O為位似中心,放大△ABC到原來2倍的△A′B′C′;
(2)若點P是AB邊上一點,平移△ABC后,點P的對應(yīng)點的坐標(biāo)是P′(a+3,b-2),在圖2中畫出平移后的△A′B′C′.

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4、已知平面直角坐標(biāo)系中點p(3,2),若將點P先沿x軸方向向右平移2個單位,再將它沿y軸方向向下平移1個單位,到達(dá)點Q處,則點Q的坐標(biāo)為( 。

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已知平面直角坐標(biāo)系中有一線段AB,其中A(1,3)B(4,5),若A、B縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)擴大為原來的2倍,則線段AB
 
向拉長為原來的
 
倍,若點A、B縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變成原來的
12
,則線段AB
 
向縮短為原來的
 

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如圖,已知平面直角坐標(biāo)系,A、B兩點的坐標(biāo)分別為A(2,-3),B(4,-1).若C(a,0),D(a+3,0)是x軸上的兩個動點,則當(dāng)a=
5
4
5
4
時,四邊形ABDC的周長最短.

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(2013•上海)已知平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖),直線y=
1
2
x+b
經(jīng)過第一、二、三象限,與y軸交于點B,點A(2,t)在這條直線上,聯(lián)結(jié)AO,△AOB的面積等于1.
(1)求b的值;
(2)如果反比例函數(shù)y=
k
x
(k是常量,k≠0)的圖象經(jīng)過點A,求這個反比例函數(shù)的解析式.

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