Question

如圖，Rt△ABC置于平面直角坐標(biāo)系中，使直角頂點(diǎn)B與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，邊AB、BC分別落在y軸、x軸上，AB=9，CB=12．直線y=-+4交y軸、y軸分別于點(diǎn)D、E．點(diǎn)M是斜邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BM．點(diǎn)P是線段BM上的動(dòng)點(diǎn)，始終保持∠BPE=∠BDE．
（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)D和點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）證明：∠BPE=∠ACB；
（3）設(shè)線段OP的長(zhǎng)為y個(gè)單位，線段OM的長(zhǎng)為x個(gè)單位，請(qǐng)你寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（4）請(qǐng)你求出線段OP長(zhǎng)度的最大值．

Answer 1

解：（1）∵直線y=-+4交y軸、y軸分別于點(diǎn)D、E．
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=4．當(dāng)y=0時(shí)，0=-+4，即x=0，
∴D（0，4），E（3，0）；

（2）∵AB=9，CB=12，
∴==．
∵D（0，4），E（3，0），
∴OD=4，OE=3，
∴=，
∴=．
又∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴△ABC∽△EBD，
∴∠ACB=∠EDB．
又∵∠BPE=∠BDE，
∴∠BPE=∠ACB；

（3）∵∠BPE=∠ACB，∠PBE=∠CBM，
∴△BMC∽△BEP，
∴=，即=，
∴y=．
當(dāng)OM⊥AC時(shí)，OM最短．
AC===15．
S_△ABC=AC•OM=AB•BC，即15•OM=9×12，
∴OM=，
∴自變量x的取值范圍是≤x＜12；

（4）由（3）知，OP、OM之間，即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=（≤x＜12）．
∵反比例函數(shù)y=位于第一象限，
∴y的值隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=時(shí)，y取最大值，y_最大==5．即線段OP長(zhǎng)度的最大值是5．
分析：（1）根據(jù)直線方程y=-+4來(lái)求點(diǎn)D、E的坐標(biāo)；
（2）由坐標(biāo)與圖形的特點(diǎn)證得△ABC∽△EOD，則相似三角形的對(duì)應(yīng)角∠ACB=∠EDO；然后結(jié)合已知條件“∠BPE=∠BDE”，利用等量代換證得∠BPE=∠ACB；
（3）由相似三角形（△BMC和△BEP）的對(duì)應(yīng)邊成比例可以寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=；當(dāng)OM⊥AC時(shí)，OM最短．所以利用勾股定理、三角形的面積公式求得OM=，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，OM取最大值12；
（4）由（3）中反比例函數(shù)y=的增減性知，當(dāng)x取最小值時(shí)，y取最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，相似三角形的判定與性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．在證明三角形相似的題目時(shí)，注意充分利用“公共邊、公共角”等隱含性的條件．