Question

（2009•朝陽）如圖①，點(diǎn)A′，B′的坐標(biāo)分別為（2，0）和（0，-4），將△A′B′O繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得△ABO，點(diǎn)A′的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)A，點(diǎn)B′的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B．
（1）寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出直線AB的解析式；
（2）將△ABO沿著垂直于x軸的線段CD折疊，（點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)D不與A，B重合）如圖②，使點(diǎn)B落在x軸上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，0），△CDE與△ABO重疊部分的面積為S．
①試求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式（包括自變量x的取值范圍）；
②當(dāng)x為何值時(shí)，S的面積最大，最大值是多少？
③是否存在這樣的點(diǎn)C，使得△ADE為直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到OA=OA′，OB=OB′，則A，B的坐標(biāo)就可以得到，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線AB的解析式．
（2）①OB=4，C點(diǎn)的位置應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)C在OB的中點(diǎn)或在中點(diǎn)與B之間時(shí)，重合部分是△CDE；當(dāng)C在OB的中點(diǎn)與O之間時(shí)，重合部分是梯形，就可以得到函數(shù)解析式．
②求出S與x之間的函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)就可以得到面積的最值．
③分△ADE以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)和△ADE以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，兩種情況進(jìn)行討論．根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，求出OE的長，就可以得到C點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：
（1）A（0，2），B（4，0）（2分）
設(shè)直線AB的解析式y(tǒng)=kx+b，則有
解得
∴直線AB的解析式為（3分）

（2）i）①點(diǎn)E在原點(diǎn)和x軸正半軸上時(shí)，重疊部分是△CDE．
則S_△CDE=
=
當(dāng)E與O重合時(shí)，
∴2≤x＜4（4分）
②當(dāng)E在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)DE與y軸交于點(diǎn)F，則重疊部分為梯形
∵△OFE∽△OAB
∴，
∴
又∵OE=4-2x
∴
∴
=（5分）
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0）
∴0＜x＜2（6分）
綜合①②得（7分）
ii）①當(dāng)2≤x＜4時(shí)，
∴對(duì)稱軸是直線x=4
∵拋物線開口向上，
∴在2≤x＜4中，S隨x的增大而減小
∴當(dāng)x=2時(shí)，S的最大值=（8分）
②當(dāng)0＜x＜2時(shí)，
∴對(duì)稱軸是直線
∵拋物線開口向下∴當(dāng)時(shí)，S有最大值為（9分）
綜合①②當(dāng)時(shí)，S有最大值為（10分）
iii）存在，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0）和（，0）（14分）
附：詳解：①當(dāng)△ADE以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，作AE⊥AB交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)E，
∵△AOE∽△BOA
∴
∵AO=2∴EO=1
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（-1，0）
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0）②當(dāng)△ADE以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)時(shí)
同樣有△AOE∽△BOA
∴EO=1∴E（1，0）
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)（，0）
綜合①②知滿足條件的坐標(biāo)有（，0）和（，0）．
以上僅提供本試題的一種解法或解題思路，若有不同解法請(qǐng)參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)予以評(píng)分．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，求函數(shù)的最值，以及相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等．