Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，AE是△ABC的角平分線(xiàn)；ED平分∠AEB，交AB于點(diǎn)D；∠CAE=∠B．

（1）求∠B的度數(shù)．
（2）如果AC=3cm，求AB的長(zhǎng)度．
（3）猜想：ED與AB的位置關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AE是△ABC的角平分線(xiàn)，

∴∠CAE=∠EAB，

∵∠CAE=∠B，

∴∠CAE=∠EAB=∠B．

∵在△ABC中，∠C=90°，

∴∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°，

∴∠B=30°

（2）解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm，

∴AB=2AC=6cm

（3）解：猜想：ED⊥AB．理由如下：

∵∠EAB=∠B，

∴EB=EA，

∵ED平分∠AEB，

∴ED⊥AB

【解析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)定義和三角形內(nèi)角和定理求出∠B的度數(shù)；（2）根據(jù)在直角三角形中，30度角所對(duì)的邊是斜邊的一半；求出AB的長(zhǎng)度；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，等角對(duì)等邊得到EB=EA，根據(jù)三線(xiàn)合一得到ED⊥AB.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用含30度角的直角三角形的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．