Question

如圖：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=90°，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，請說明EF=

1

2

（BC-AD）的理由．

Answer 1

分析：過E作EG平行于AB，EH平行于DC，交BC分別為G、H，利用兩直線平行同位角相等及∠B+∠C=90°，得到∠EGH+∠EHG=90°，可得出三角形EGH為直角三角形，同時(shí)得到四邊形ABGE與四邊形BHCD都為平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)及E為中點(diǎn)得到BG=HC=AE=ED，可得出GH=BC-（BG+HC）=BC-（AE+ED）=BC-AD，且F為GH的中點(diǎn)，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得出EF為GH的一半，等量代換可得證．

解答：證明：過點(diǎn)E作AB、CD的平行線，與BC分別交于G，H，
可得∠EGH=∠B，∠EHG=∠C，
∵∠B+∠C=90°，
∴∠EGH+∠EHG=90°，
∴∠GEH=90°，即△EGH為直角三角形，
∵AE∥BG，EG∥AB，ED∥HC，EH∥DC，
∴四邊形ABGE和四邊形CDEH都是平行四邊形，
∴BG=AE，CH=ED，
∵E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，
∴AE=BG=HC=ED，
∴FB-BG=FC-HC，即FG=FH，
在Rt△EGH中，F(xiàn)為斜邊GH的中點(diǎn)，
∴EF=

1

2

GH，
又GH=BC-（BG+CH）=BC-（AE+ED）=BC-AD，
則EF=

1

2

（BC-AD）．

點(diǎn)評：此題考查了梯形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．