Question

4．如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），將線段AB先向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段CD，連接AC，BD．
（1）求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)及S_{四邊形ABDC}；
（2）點(diǎn)Q在y軸上，且S_△QAB=S_{四邊形ABDC}，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）如圖（2），點(diǎn)P是線段BD上任意一個(gè)點(diǎn)（不與B、D重合），連接PC、PO，試探索∠DCP、∠CPO、∠BOP之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平移直接得到點(diǎn)C，D坐標(biāo)，用面積公式計(jì)算；
（2）設(shè)出Q的坐標(biāo)，OQ=|m|，用S_△QAB=S_{四邊形ABDC}建立方程，解方程即可；
（3）作出輔助線，平行線，用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可．

解答 解：（1）∵線段AB先向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段CD，
且（-1，0），B（3，0），
∴C（0，2），D（4，2）；
∵AB=4，OC=2，
∴S_{四邊形ABDC}=AB×OC=8；
（2）∵點(diǎn)Q在y軸上，設(shè)Q（0，m），
∴OQ=|m|，
∴S_△QAB=$\frac{1}{2}$×AB×OQ=$\frac{1}{2}$×4×|m|=2|m|，
∵S_{四邊形ABDC}=8，
∴2|m|=8，
∴m=4或m=-4，
∴Q（0，4）或Q（0，-4）．
（3）如圖，

∵線段CD是線段AB平移得到，
∴CD∥AB，
作PE∥AB，
∴CD∥PE，
∴∠CPE=∠DCP，
∵PE∥AB，
∴∠OPE=∠BOP，
∴∠CPO=∠CPE+∠OPE=∠DCP+∠BOP，
∴∠CPO=∠DCP+∠BOP．

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查了平移得性質(zhì)，計(jì)算三角形面積的方法，平行線的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵用面積建立方程或計(jì)算，作出輔助線是解本題的難點(diǎn)．