Question

如圖，拋物線E：y=x²+4x+3交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，拋物線E關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線F交x軸于C、D兩點(diǎn)．
（1）求F的解析式；
（2）在x軸上方的拋物線F或E上是否存在一點(diǎn)N，使以A、C、N、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若將拋物線E的解析式改為y=ax²+bx+c，試探索問題（2）．

Answer 1

分析：（1）令y=0，可求出拋物線E與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，再令x=0，可求出與y軸的交點(diǎn)M，可以得到這三點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，設(shè)拋物線F的解析式是y=ax²+bx+3，直接把AB的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)代入F的解析式，即可求出F的解析式．
（2）若使以A、C、N、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，那么應(yīng)有MN∥AC，即N，M兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，可將M點(diǎn)的總坐標(biāo)代入兩拋物線的解析式中求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，然后看MN是否與AC的長(zhǎng)相等即可判斷出是否存在符合條件的N點(diǎn)．
（3）同（2）一樣，也要先用代數(shù)式表示出A、C、M的坐標(biāo)，然后用M的縱坐標(biāo)求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而去比較MN和AC的長(zhǎng)是否相等．

解答：解：（1）解法一：當(dāng)y=0時(shí)，x²+4x+3=0，
解得x₁=-3，x₂=-1，
∴A、B點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-3，0）、（-1，0）；
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），A、B、M三點(diǎn)關(guān)于y軸得對(duì)稱點(diǎn)分別是D、C、M，
∴D、C坐標(biāo)為（3，0）、（1，0）；
設(shè)F的解析式為y=ax²+bx+3，則有：

0=9a+3b+3 0=a+b+3

，
∴a=1，b=-4
∴拋物線F的解析式為y=x²-4x+3．
解法二：∵拋物線E與拋物線F關(guān)于y軸對(duì)稱，且拋物線E：y=x²+4x+3，
∴拋物線F的方程是：y=（-x）²+4×（-x）+3=x²-4x+3，即
拋物線F的解析式為y=x²-4x+3；

（2）存在．假設(shè)MN∥AC，
∴N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3．
若在拋物線F上，當(dāng)y=3時(shí)，3=x²-4x+3，則x₁=0，x₂=4
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3），
∴MN=4，
由（1）可求AC=4，
∴MN=AC，
∴四邊形ACNM為平行四邊形．
根據(jù)拋物線F和E關(guān)于y軸對(duì)稱，故N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）或（-4，3）．

（3）存在．假設(shè)MN∥AC，
∴N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為c．設(shè)y=0，
∴ax²+bx+c=0
∴x=

-b± b2-4ac

2a

，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（

-b- b2-4ac

2a

，0），
B點(diǎn)坐標(biāo)為（

-b+ b2-4ac

2a

，0）
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（

b- b2-4ac

2a

，0），
∴AC=

b

a

在拋物線E上，當(dāng)y=c時(shí)，c=ax²+bx+c，x₁=0，x₂=-

b

a

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（-

b

a

，c）
NM=0-（-

b

a

）=

b

a

，
∴NM=AC，
∴四邊形ACMN為平行四邊形．
根據(jù)拋物線F和E關(guān)于y軸對(duì)稱，故N點(diǎn)坐標(biāo)為（-

b

a

，c）或（

b

a

，c）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定，軸對(duì)稱圖形，平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn)．