Question

如圖①，已知正方形AOBC的邊長為3，A、B兩點分別在y軸和x軸的正半軸上，以D（0，1）為旋轉(zhuǎn)中心，將DB逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段DE，拋物線以點E為頂點，且經(jīng)過點A．

（1）求拋物線解析式并判斷點B是否在拋物線上；
（2）如圖②，判斷直線AE與正方形AOBC的外接圓的位置關系，并說明理由；
（3）若在拋物線上有點P，在拋物線的對稱軸上有點Q，使得以O、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

解：（1）如圖①，過E作EF⊥y軸于F，則∠EFD=∠DOB=90°．
∵以D（0，1）為旋轉(zhuǎn)中心，將DB逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段DE，
∴∠BDE=90°，DE=DB，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△DEF≌△BDO（AAS），
∴EF=DO=1，F(xiàn)D=OB=3，
∴E（1，4）．
設拋物線的解析式為y=a（x-1）²+4，
把A（0，3）代入上式，得
3=a（0-1）²+4，解得a=-1，
∴y=-（x-1）²+4．
當x=3時，y=-（3-1）²+4=0，
∴點B（3，0）在拋物線上；

（2）直線AE與圓相切．理由如下：
如圖②，連接AB，則AB為圓的直徑，
在正方形AOBC中，∠OAB=45°，
由（1）知，EF=1，F(xiàn)A=OF-OA=4-3=1，
∴在Rt△EFA中，∠FAE=45°，
∴∠EAB=180°-∠OAB-∠FAE=90°，
∴直徑AB⊥AE，
∴直線AE與圓相切；

（3）①當OB為邊時，如圖③，

∵以O、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴PQ∥OB，且PQ=OB=3．
∵點Q在對稱軸x=1上，
∴點P的橫坐標為-2或4．

當x=-2時，y=-（-2-1）²+4=-5；
當x=4時，y=-（4-1）²+4=-5．

即符合條件的點P有兩個，P₁（-2，-5），P₂（4，-5）；
②當OB為對角線時，如圖④，
∵以O、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，

∴PQ與OB互相平分．
又點Q在對稱軸x=1上，且線段OB的中點橫坐標為，

∴點P的橫坐標為2，

當x=2時，y=-（2-1）²+4=3，
即符合條件的點P只有一個，即P₃（2，3），
綜上所述，符合條件的點P共有三個，即P₁（-2，-5），P₂（4，-5），P₃（2，3）．
分析：（1）過E作EF⊥y軸于F，則∠EFD=∠DOB=90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠BDE=90°，DE=DB，由余角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得∠2=∠3，則由AAS證明△DEF≌△BDO，根據(jù)全等三角形的對應邊相等得到EF=DO=1，F(xiàn)D=OB=3，即拋物線頂點E的坐標為（1，4），則可設拋物線的解析式為y=a（x-1）²+4，把A（0，3）代入，運用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，進而可判斷出點B在拋物線上；
（2）連接AB，先由正方形的性質(zhì)可得∠OAB=45°，再證明△EFA為等腰直角三角形，則∠FAE=45°，然后根據(jù)平角的定義得出∠EAB=90°，由切線的判定定理即可得出直線AE與圓相切；
（3）分兩種情況討論：①當OB為邊時，由Q點在對稱軸x=1上，根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可確定P點的橫坐標，再代入拋物線的解析式，求出P點縱坐標即可；②OB為對角線時，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，即PQ的中點與OB的中點重合，根據(jù)中點坐標公式求出點P的橫坐標，再代入拋物線的解析式，求出P點縱坐標即可．
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，正方形的性質(zhì)，切線的判定，函數(shù)圖象上點的坐標特征，平行四邊形的性質(zhì)等知識，綜合性較強，難度中等，利用數(shù)形結合以及分類討論思想是解題的關鍵．