Question

【題目】如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)M．

（1）直接寫(xiě)出AM=　　　　；

（2）P是射線AM上的一點(diǎn)，Q是AP的中點(diǎn)，設(shè)PQ=x．

①AP=　　　　 ，AQ=　　　　 ；

②以PQ為對(duì)角線作正方形，設(shè)所作正方形與△ABD公共部分的面積為S，用含x的代數(shù)式表示S，并寫(xiě)出相應(yīng)的x的取值范圍．(直接寫(xiě)出，不需要寫(xiě)過(guò)程)

Answer 1

【答案】（1）；（2）①2x，x；②S(0＜x≤)．

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理可得AC=，進(jìn)而根據(jù)正方形對(duì)角線相等而且互相平分，可得AM的長(zhǎng)；

（2）由中點(diǎn)定義可得AP=2PQ，AQ=PQ，然后由正方形與△ABD公共部分可得是以QM為高的等腰直角三角形，據(jù)此即可解答．

解：（1）∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，

∴對(duì)角線AC4，

又∴AM2．

故答案為：2．

（2）①Q是AP的中點(diǎn)，設(shè)PQ=x，

∴AP=2PQ=2x，AQ=x．

故答案為：2x；x．

②如圖：

∵以PQ為對(duì)角線作正方形，

∴∠GQM=∠FQM=45°

∵正方形ABCD對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)M，

∴∠FMQ=∠GMQ=90°，

∴△FMQ和△GMQ均為等腰直角三角形，

∴FM=QM=MG．

∵QM=AM﹣AQ=2x，

∴SFGQM，

∴S，

∵依題意得：，

∴0＜x≤2，

綜上所述：S(0＜x≤2)，