Question

將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標系中，O為頂點，點A在x軸上，點C在y軸上，OA=10，OC=8．
（1）如右上圖，在OC邊上取一點D，將△BCD沿BD折疊，使點C恰好落在OA邊上，記作點E．
①求點E的坐標及折痕BD的長；
②在x軸上取兩點M，N（點M在點N的左側(cè)），且MN=4.5，求使四邊形BDMN的周長最短的點M和點N的坐標；
（2）如右下圖，在OC，BC邊上分別取點F，G，將△GCF沿GF折疊，使點C恰好落在OA邊上，記作點H．設(shè)OH=x，四邊形OHGC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）①∵四邊形OABC為矩形，
∴BC=OA=10，AB=OC=8，
∵△BCD沿BD折疊，使點C恰好落在OA邊E點上，
∴BC=BE=10，DC=DE，
在Rt△ABE中，BE=10，AB=8，
∴AE=6，
∴OE=10-6=4，
∴E點坐標為（4，0）；
在Rt△ODE中，設(shè)DE=x，則OD=OC-DC=OC-DE=8-x，
∴x²=4²+（8-x）²，解得x=5，
在Rt△BDE中，
BD==5；

②以D、M、N為頂點作平行四邊形DMND′，作出點B關(guān)于x軸對稱點B′，如圖：
∴B′的坐標為（10，-8），DD′=MN=4.5，
∴D′的坐標為（4.5，3），
設(shè)直線D′B′的解析式為y=kx+b，
把B′（10，-8），D′（4.5，3）代入得
10k+b=-8，4.5k+b=3，
解得k=-2，b=12，
∴直線D′B′的解析式為y=-2x+12，
令y=0，得-2x+12=0，解得x=6，
∴M（1.5，0）；N（6，0）．

（2）過點H作HM⊥BC于M，則MG=HG-x，
∵△GCF沿GF折疊得到△GHF，
∴HG=CG，故MG可表示為CG-x，
在Rt△HMG中，HG²=MG²+MH²，即HG²=（CG-x）²+64，
解得：CG=，
∴S_OHGC=（CG+OH）•OC=，即y=，
點F與點O重合點G與點B重合、點F與點O重合分別是點F的兩個極限，
1、點G與點B重合時，由①的結(jié)論可得，此時OH=4，
2、點F與點O重合時，OH=8，
綜上可得：y=，（4＜x＜8）．
分析：（1）①根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC=OA=10，AB=OC=8，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BC=BE=10，DC=DE，易得AE=6，則OE=10-6=4，即可得到E點坐標；在Rt△ODE中，設(shè)DE=x，則OD=OC-DC=OC-DE=8-x，利用勾股定理可計算出x，再在Rt△BDE中，利用勾股定理計算出BD；
②以D、M、N為頂點作平行四邊形DMND′，作出點B關(guān)于x軸對稱點B′，則易得到B′的坐標，D′的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出直線D′B′的解析式，令y=0，得-2x+12=0，確定N點坐標，也即可得到M點坐標．
（2）過點H作HM⊥BC于M，則MG=HG-x，從而在RT△HMG中可用x表示出HG的長，利用梯形的面積公式可用x表示出y，點F與點O重合時是OH取得最大值的點，從而可得出自變量的范圍．
點評：本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及最短路徑的知識，綜合性較強，難度較大，注意掌握折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，在（2）求自變量范圍的時候，要注意尋找極限點，不要想當然的判斷．