解:(1)BG⊥DE,理由如下:
如圖1,∵矩形CEFG~矩形CDAB,
∴∠BCD=∠DCE=90°,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/406018.png)
,
∴△BCG∽△DCE,
∴∠CBG=∠CDE.
延長BG交DE于M.
又∵∠CGB=∠DGM,
∴∠BCG=∠DMG=90°,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201311/5285612e72ec1.png)
∴BG⊥DE;
(2)BG⊥DE仍然成立,理由如下:
如圖2,∵矩形CEFG~矩形CDAB,
∴∠BCD=∠GCE=90°,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/406018.png)
,
∴∠BCG=∠DCE,
∴△BCG∽△DCE,
∴∠CBG=∠CDE,
又∵∠BHC=∠DHO,∠CBG+∠BHC=90°,
∴∠CDE+∠DHO=90°,
∴∠DOH=90°,
∴BG⊥DE;
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201311/5285612e8d66e.png)
(3)△BDF的面積是否存在最大值與最小值.理由如下:
∵矩形CEFG~CDAB,其相似比k=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
,BD=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/61785.png)
=4
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
,
∴CF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
,
∴點F的軌跡是以點C為圓心,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
為半徑的圓.
設(shè)點C到BD的距離為h,
∴4
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
h=8×4,
解得h=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/34618.png)
,
∴當(dāng)點F到BD的距離為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/34618.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/406019.png)
時,△BDF的面積有最大值,
當(dāng)點F到BD的距離為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/34618.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14838.png)
時,△BDF的面積有最小值,
S
最大=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
×4
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/406019.png)
=26,
S
最小═
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
×4
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14838.png)
=6.
分析:(1)由矩形CEFG~矩形CDAB可以得出∠BCD=∠DCE=90°,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/406018.png)
,從而可以得到△BCG∽△DCE,再利用角相等通過代換就可以得出結(jié)論;
(2)由條件可以得出證明△BCG∽△DCE,再利用角相等通過代換就可以得出結(jié)論;
(3)矩形CEFG繞著點C旋轉(zhuǎn)一周,點F的軌跡是以點C為圓心以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
為半徑的圓,所以△BDF的BD邊上的高就是點F到BD的距離,也就是BD到圓上的點的距離,有最大值和最小值,最大值為點C到BD的距離與圓的半徑的和,最小值為點C到BD的距離與圓的半徑的差,再利用三角形的面積公式求解即可.
點評:本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),相似多邊形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),圓上的點到直線的距離的取值范圍,綜合性較強,有一定難度.