Question

為了迎接“十•一”小長假的購物高峰．某運動品牌專賣店準備購進甲、乙兩種運動鞋．其中甲、乙兩種運動鞋的進價和售價如下表：

運動鞋 價格	甲	乙
進價（元/雙）	m	m-20
售價（元/雙）	240	160

已知：用3000元購進甲種運動鞋的數量與用2400元購進乙種運動鞋的數量相同．
（1）求m的值；
（2）要使購進的甲、乙兩種運動鞋共200雙的總利潤（利潤=售價-進價）不少于21700元，且不超過22300元，問該專賣店有幾種進貨方案？
（3）在（2）的條件下，專賣店準備對甲種運動鞋進行優(yōu)惠促銷活動，決定對甲種運動鞋每雙優(yōu)惠a（50＜a＜70）元出售，乙種運動鞋價格不變．那么該專賣店要獲得最大利潤應如何進貨？

Answer 1

解：（1）依題意得，=，
整理得，3000（m-20）=2400m，
解得m=100，
經檢驗，m=100是原分式方程的解，
所以，m=100；

（2）設購進甲種運動鞋x雙，則乙種運動鞋（200-x）雙，
根據題意得，，
解不等式①得，x≥95，
解不等式②得，x≤105，
所以，不等式組的解集是95≤x≤105，
∵x是正整數，105-95+1=11，
∴共有11種方案；

（3）設總利潤為W，則W=（140-a）x+80（200-x）=（60-a）x+16000（95≤x≤105），
①當50＜a＜60時，60-a＞0，W隨x的增大而增大，
所以，當x=105時，W有最大值，
即此時應購進甲種運動鞋105雙，購進乙種運動鞋95雙；
②當a=60時，60-a=0，W=16000，（2）中所有方案獲利都一樣；
③當60＜a＜70時，60-a＜0，W隨x的增大而減小，
所以，當x=95時，W有最大值，
即此時應購進甲種運動鞋95雙，購進乙種運動鞋105雙．
分析：（1）用總價除以單價表示出購進鞋的數量，根據兩種鞋的數量相等列出方程求解即可；
（2）設購進甲種運動鞋x雙，表示出乙種運動鞋（200-x）雙，然后根據總利潤列出一元一次不等式，求出不等式組的解集后，再根據鞋的雙數是正整數解答；
（3）設總利潤為W，根據總利潤等于兩種鞋的利潤之和列式整理，然后根據一次函數的增減性分情況討論求解即可．
點評：本題考查了一次函數的應用，分式方程的應用，一元一次不等式組的應用，解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，進而找到所求的量的等量關系和不等關系，（3）要根據一次項系數的情況分情況討論．