Question

11．已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，4）和（2，2）．
（1）求這個(gè)一次函數(shù)；
（2）畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，并求出它與x軸的交點(diǎn)A、與y軸的交點(diǎn)B；
（3）求出△AOB的面積；
（4）直線AB上是否存在一點(diǎn)C（C與B不重合），使△AOC的面積等于△AOB的面積？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)（1，5）和（2，2）代入y=kx+b可得出方程組，解出即可得出k和b的值，即得出了函數(shù)解析式．
（2）令y=0，可求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，令x=0，可求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)式畫出函數(shù)圖象；
（3）根據(jù)三角形面積公式求解；
（4）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)C（t，-2t+6），則利用三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•3•|-2t+6|=9，然后解絕對(duì)值方程求出t的值即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，4）和（2，2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y=-2x+6．
（2）令y=0可得-2x+6=0，解得x=3，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
令x=0可得y=6，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），
函數(shù)圖象如圖：

（3）△AOB的面積為：$\frac{1}{2}$×3×6=9；
（4）存在．
設(shè)C（t，-2t+6），
∵△AOC的面積等于△AOB的面積，
∴$\frac{1}{2}$•3•|-2t+6|=9，解得t₁=6，t₂=0（舍去），
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（6，-6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：一次函數(shù)y=kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線．它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（-$\frac{k}$，0）；與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，b）．直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b．也考查了三角形面積公式．