Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°AB=6cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P以2cm/秒的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AC向C移動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q以1cm/秒的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB向B移動(dòng)．當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們都停止移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）①當(dāng)t=2.5秒時(shí)，求△CPQ的面積；
     ②求△CPQ的面積S（cm²）關(guān)于時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在P，Q移動(dòng)的過程中，當(dāng)△CPQ為等腰三角形時(shí)，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）①由勾股定理求出AC=10cm，求出AP=5，CQ=2.5，過P作PD⊥BC于D，根據(jù)三角形的中位線求出PD=AB=3cm，根據(jù)三角形面積公式求出即可；②過Q作QE⊥AC于E，求出AP=2t，CP=10-2t，根據(jù)△CEQ∽△CBA求出QE=t，據(jù)三角形面積公式求出即可；
（2）分為三種情況：①當(dāng)PC=CQ時(shí)得出10-2t=t，②當(dāng)PQ=CQ時(shí)，根據(jù)cosC==得出=，③當(dāng)PQ=CP時(shí)，根據(jù)cosC==得出=，求出即可．
解答：解：（1）①在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，由勾股定理得：AC=10cm，
由題意得：AP=2×2.5=5，CQ=2.5，
過P作PD⊥BC于D，
∴PD∥AB，
∵AP=5cm，AC=10cm，
∴P為AC中點(diǎn)，
∴D為BC中點(diǎn)，
∴PD=AB=×6cm=3cm，
∴S_△CPQ=CQ•PD=×2.5cm×3cm=3.75cm²；
②過Q作QE⊥AC于E，
由題意得：AP=2t，CP=10-2t，
則∠CEQ=∠B=90°，
∵∠C=∠C，
∴△CEQ∽△CBA，
∴==，
∴QE=t，
∴S_△CPQ=•CP•QE=（10-2t）•t，
S=-t²+3t（0＜t＜5）；
（2）分為三種情況：①當(dāng)PC=CQ時(shí)，即10-2t=t，
t=，
當(dāng)t=秒，△CPQ是等腰三角形．
②當(dāng)PQ=CQ時(shí)，
∵QE⊥CP，
∴PE=CE=•（10-2t）=5-t，
∵cosC==，
∴=，
t=，
∴當(dāng)t=秒時(shí)，△CPQ是等腰三角形，
③當(dāng)PQ=CP時(shí)，
∵PD⊥BC，
∴CD=QD=CQ=t，
∵cosC==，
∴=，
t=
∴當(dāng)t=秒時(shí)，△CPQ是等腰三角形，
即當(dāng)△CPQ為等腰三角形時(shí)，t的值是秒或秒或秒．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和推理的能力，用了分類討論思想．