Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點（不與點A、B重合），D是半圓的中點．C、D在直徑AB的兩側(cè)．
（1）求證：CA²+BC²=2BD²；
（2）若∠AOC=60°，求證：以線段CA、CB與BD的長為邊的三角形是直角三角形．

Answer 1

證明：（1）∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
在Rt△ADB中，AD²+BD²=AB²，
∵=，∴AD=BD，
∴AB²=AD²+BD²=2BD²，
∴AC²+BC²=2BD²；
（2）∵∠AOC=60°，
∴∠ABC=∠AOC=30°，
在Rt△ABC中，AB=2AC，
∴BC²=AB²-AC²=4AC²-AC²=3AC²，
由（1）得AC²+BC²=2BD²，
∴BD²=2AC²，
∴CA²+BD²=3AC²，
∴CA²+BD²=BC²，
則以線段CA、CB與BD的長為邊的三角形是直角三角形．
分析：（1）由AB為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角，得到兩個角為直角，可得出三角形ABC與三角形ADB都為直角三角形，利用勾股定理分別列出關(guān)系式，再由D為半圓的中點，得到兩條弧相等，利用等弧對等弦得到AD=BD，代入列出的關(guān)系式中變形即可得證；
（2）由∠AOC=60°，OB=OC，利用外角性質(zhì)及等邊對等角得到∠ABC為30°，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半得到AB=2AC，在直角三角形ABC中，利用勾股定理表示出BC²，再由（1）的結(jié)論表示出BD²，可得出CA²+BD²=BC²，則以線段CA、CB與BD的長為邊的三角形是直角三角形．
點評：此題考查了垂徑定理，勾股定理，弦、弧及圓心角之間的關(guān)系，圓周角定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．