Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3

3

，AD=3，點(diǎn)M是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），過點(diǎn)M作直線MN∥BD，交CD邊于點(diǎn)N，再把△CMN沿著動(dòng)直線MN對(duì)折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是P點(diǎn)，設(shè)CM的長度為x．
（1）求∠CMN的度數(shù)；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，點(diǎn)P落在矩形ABCD的對(duì)角線BD上？
（3）當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，點(diǎn)P落在△ABD的內(nèi)部？
（提示：對(duì)（2）、（3）兩問在備用圖中畫出滿足條件的圖形，再解答）

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABD中，根據(jù)AB、AD的長，即可求出∠ABD的度數(shù)，也就得到∠CBD的度數(shù)；而∠CMN和∠CBD是平行線的同位角，因此這兩角相等，由此得出∠CMN的度數(shù)；
（2）如備用圖1，點(diǎn)P在BD上時(shí)．根據(jù)折疊的性質(zhì)和（1）中的結(jié)論可以推知△PMB為等邊三角形，則點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)；
（3）當(dāng)P在AB上時(shí)，△MBP為直角三角形，且∠BMP=60°（可由（1）的結(jié)論得出），根據(jù)折疊的性質(zhì)MP=MC=x，然后用x表示出BM的長，可根據(jù)∠PBM的余弦值得出關(guān)于x的方程即可求出x的值．

解答：解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°．
在Rt△ABD中，AB=3

3

，AD=3，則tan∠ABD=

AD

AB

=

3

3 3

=

3

3

，即∠ABD=30°．
∴∠CBD=60°．
∵M(jìn)N∥BD，
∴∠CMN=∠CBD=60°．

（2）如備用圖1，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，△PMN≌△CMN，
∴∠PMN=∠CMN，PM=CM．
由（1）知∠PMN=∠CMN=60°，
∴∠PMB=60°，
∴∠PMB=∠PBM=60°，
∴PM=BM，
∴CM=BM，即點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，則x=

1

2

BC=

1

2

AD=1.5；

（3）如備用圖2，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，△PMN≌△CMN，
∴∠PMN=∠CMN，PM=CM=x．
由（1）知∠PMN=∠CMN=60°，
∴∠PMB=60°，
∴∠MPB=30°，
∴MP=2MB．
∴在△MPB中，根據(jù)題意得：x=2（3-x），
解得：x=2．
由（2）知，當(dāng)點(diǎn)P在BD上時(shí)，x=1.5，
∴當(dāng)1.5＜x＜2時(shí)，點(diǎn)P落在△ABD的內(nèi)部．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形綜合題．其中涉及到了矩形的性質(zhì)、翻折變換以及含30度角的直角三角形．解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．