Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓交AC于點(diǎn)D，E是BC的中點(diǎn)，連接DE，OE．

（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）求證：BC²=2CD•OE；

（3）若cos∠BAD=，BE=，求OE的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接OD，BD，

∵AB為圓O的直徑，

∴∠ADB=90°，

在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點(diǎn)，

∴CE=DE=BE=BC，

∴∠C=∠CDE，

∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，

∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，

∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，

∴DE⊥OD，又OD為圓的半徑，

∴DE為圓O的切線；

（2）證明：∵E是BC的中點(diǎn)，O點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，

∴OE是△ABC的中位線，

∴AC=2OE，

∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，

∴△ABC∽△BDC，

∴，即BC²=AC•CD．

∴BC²=2CD•OE；

（3）解：∵cos∠BAD=，

∴sin∠BAC==，

又∵BE=，E是BC的中點(diǎn)，即BC=，

∴AC=．

又∵AC=2OE，

∴OE=AC=．