Question

如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，但AD≠CD，我們稱這樣的四邊形為“半菱形”．小明說：“‘半菱形’的面積等于兩條對角線乘積的一半”．他的說法正確嗎？請你判斷并證明你的結論．

Answer 1

解：正確．
證明：∵AB=AD，
∴點A在線段BD的中垂線上．
又∵CB=CD，
∴點C與在線段BD的中垂線上．
∴AC所在的直線是線段BD的中垂線，即BD⊥AC；
設AC，BD交于O．
∵S_△ABD=BD•AO，S_△BCD=BD•CO，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=BD•AO+BD•CO=BD（AO+CO）=BD•AC．
分析：易知點A，C在BD的垂直平分線上，那么AC垂直平分BD，把半菱形的面積用其中兩個三角形的面積表示，可得到半菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半．
點評：解決本題的關鍵是得到AC與BD垂直，然后把所求四邊形的面積進行分割求解．